Совсем запутался с методом Зейделя

01.12.2013, 20:55. **Показов** 601. **Ответов** 1

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Дано:
5x₁+5x₂=10;
3x₁+5x₂=10;
Начальное приближение: нулевой вектор.
Задание: выполнить три итерации. Сопоставить сходимость итерационного процесса с выполнением достаточных условий сходимости метода.
---------------------------------------------
Решаю:
1) Выражаю х₁ из первой строки; x₂ из второй:
5x₁=10-5x₂=2-x₂;
5x₂=10-3x₁=2-0.6x₁;
2) Выполняю итерации:
а) x⁽¹⁾₁=2-0=2
x⁽¹⁾₂=2-0.6x2=2-1.2=0.8;
б) x⁽²⁾₁=2-0.8=1.2;
x⁽²⁾₂=2-0.6*1.2=2-0.72=1,28;
в) x⁽³⁾₁=2-1.28=0.72;
x⁽³⁾₂=2-0.6*0.72=2-0.432=1.568
Можно сделать вывод метод сходится (Реальное решение системы x₁=0, x₂=2.

3) Ищем ||B||_∞=max{0.6;1}=1 ==> метод не сходится.

И вот я запутался совсем, как так: По теории не сходится, а на практике очень даже сходится. И как преподу объяснить?

@cmath · 02.12.2013, 01:56

Для начала надо проверить, будет ли норма полученной матрицы меньше единицы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}0 & -1\\ -0.6 & 0\end{pmatrix}$
Очевидно, не будет.
***
У исходной матрицы нет того, что называется диагональным преобладанием. Чтобы получить его, надо из первого уравнения вычесть второе. Получим:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}2 & 0\\ 3 & 5\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 10\end{pmatrix}$
и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0.6 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 2\end{pmatrix}$
и уже отсюда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}x_1^{(k+1)}\\ x_2^{(k+1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0\\ -0.6 & 0\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_1^{(k)}\\ x_2^{(k)}\end{pmatrix}$

Добавлено через 1 минуту
Если начальный вектор нулевой, то решение получается за одну итерацию.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .

93_17h

	Совсем запутался с методом Зейделя 01.12.2013, 20:55. Показов 601. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Дано: 5x₁+5x₂=10; 3x₁+5x₂=10; Начальное приближение: нулевой вектор. Задание: выполнить три итерации. Сопоставить сходимость итерационного процесса с выполнением достаточных условий сходимости метода. --------------------------------------------- Решаю: 1) Выражаю х₁ из первой строки; x₂ из второй: 5x₁=10-5x₂=2-x₂; 5x₂=10-3x₁=2-0.6x₁; 2) Выполняю итерации: а) x⁽¹⁾₁=2-0=2 x⁽¹⁾₂=2-0.6x2=2-1.2=0.8; б) x⁽²⁾₁=2-0.8=1.2; x⁽²⁾₂=2-0.61.2=2-0.72=1,28; в) x⁽³⁾₁=2-1.28=0.72; x⁽³⁾₂=2-0.60.72=2-0.432=1.568 Можно сделать вывод метод сходится (Реальное решение системы x₁=0, x₂=2. 3) Ищем \|\|B\|\|_∞=max{0.6;1}=1 ==> метод не сходится. И вот я запутался совсем, как так: По теории не сходится, а на практике очень даже сходится. И как преподу объяснить?

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	02.12.2013, 01:56
	Для начала надо проверить, будет ли норма полученной матрицы меньше единицы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}0 & -1\\ -0.6 & 0\end{pmatrix}$ Очевидно, не будет. *** У исходной матрицы нет того, что называется диагональным преобладанием. Чтобы получить его, надо из первого уравнения вычесть второе. Получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}2 & 0\\ 3 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 10\end{pmatrix}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0.6 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 2\end{pmatrix}$ и уже отсюда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{pmatrix}x_1^{(k+1)}\\ x_2^{(k+1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0\\ -0.6 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1^{(k)}\\ x_2^{(k)}\end{pmatrix}$ Добавлено через 1 минуту* Если начальный вектор нулевой, то решение получается за одну итерацию. 1