Метод не сходится при слишком высокой точности

Здравствуйте!
Не знаю, нужный ли раздел выбран - возможно, этот вопрос больше связан с реализацией, нежели с теорией, но надеюсь, что вы сможете дать совет по решению проблемы.

Нужно было сделать метод SOR для решения уравнения пуассона uxx+uyy=f(x,y) для произвольной точности.
Сначала, для определения сходимости я использовал невязку: в таком случае, я мог задать любую точность (проверял до 10^-10), и алгоритм сходился.
Потом я попробовал задать норму: где Ng - количество внутренних узлов сетки (внутренних, т.к. на граничных по условию функция равна нулю). Эпсилон - разность между точным и приближенным решением (точное заранее известно).

На этой норме алгоритм перестает сходится при точности 10^-4. Полностью перестает сходится. Если на предыдущих точностях (-1,-2,-3) требовалось соответственно 50, 130 и 230 итераций, то при -4 даже на 60000-й итерации, алгоритм не сходится.

На определенной итерации норма начинает то увеличиваться, то уменьшаться (изменения происходят на 20м знаке) и в общем счете метод не сходится...

Как вы думаете - это связано с округлением в эвм, или какими-то особенностями данного метода?

0

proggamer12, и при какой размерности матрицы не сходится SOR? Точность вообще говоря зависит от метода аппроксимации уравнения и шага сетки, и если взять мало узлов то хоть миллиард итераций сделай, решение не сойдется к точному (ну итерации то сойдутся конечно, только не к тому, к чему нужно). Вообще такие системы решают точно, тогда погрешность будет зависеть только от шага сетки и не будет зависеть от количества итераций.

В случае, когда вы задаете условие остановки с помощью указанной вами нормы, если шаг сетки слишком большой, тогда метод сойдется, но условие будет не выполнено, поэтому итерации продолжаться. Думаю в этом причина.
Если порядок аппроксимации вашего метода h^2, тогда при шаге 0.01 вы можете задать эпсилон порядка 0.0001 и не меньше. Иначе решение системы сойдется к результату, для которого ваше условие не будет выполнено в силу причин, озвученных мной выше.

1

Спасибо!
Действительно, шаг сетки приближенно равен 0,04, видимо поэтому и не сходится
Крайне признателен за помощь

0