Проверить решение СЛАУ методом итераций

@reyn90 · Регистрация: 23.05.2009

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

В теме решить систему линейных уравнений методом Ньютона просил помощи по решению слау. Нашол инфу в нете и решил на паскале СЛАУ

Мне задали курсовую по решению СЛАУ(а не СНАУ) методом Ньютона. Я так понимаю что это метод простых итераций и решил это в тетрадке. Оставалось лишь создать программу и написать к ней блок схему. Блок схему пока не пишу так как программа отказывается работать. Вот код, писал на PascalABC для удобства и быстродействия. Выдаёт ошибку!
Ошибка: вещественное переполнение (Kursovaya.pas, строка 66)

и ещё если перед закрытием цикла поставить:

Pascal
1
writeln('X1=',x1);

то
X1=9.21119121200813E302
X1=4.95267659250945E304
X1=2.6629569254858E306
Ужас какойто. У меня в тетрадке такого нароста небыло. В чём же ошибка? Как остановить цикл во время?

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
const e=0.0001;
var
bet1,bet2,bet3,bet4:real;
al12,al13,al14,al21,al23,al24,al31,al32,al34,al41,al42,al43:real;
x1,xx,x2,x3,x4,x:real;
a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44,b1,b2,b3,b4:real;
//s:string;
begin
a11:=2;
a12:=3.5;
a13:=-4.5;
a14:=1;
 
a21:=1;
a22:=-2.5;
a23:=-4.5;
a24:=1;
 
a31:=10;
a32:=-7;
a33:=-1;
a34:=8;
 
a41:=10;
a42:=-2;
a43:=-1;
a44:=2;
 
b1:=3;
b2:=2;
b3:=3;
b4:=-4;
 
writeln('Система уровнений:');
writeln(abs(a11),'x1+',abs(a12),'x2-',abs(a13),'x3+',abs(a14),'x4=',b1);
writeln(abs(a21),'x1-',abs(a22),'x2-',abs(a23),'x3+',abs(a24),'x4=',b2);
writeln(abs(a31),'x1-',abs(a32),'x2-',abs(a33),'x3+',abs(a34),'x4=',b3);
writeln(abs(a41),'x1-',abs(a42),'x2-',abs(a43),'x3+',abs(a44),'x4=',b4);
writeln('Имеет решение с точностью ',e,':');
 
bet1:=b1/a11;
bet2:=b2/a22;
bet3:=b3/a33;
bet4:=b4/a44;
 
al12:=a12/a11;
al13:=a13/a11;
al14:=a14/a11;
 
al21:=a21/a22;
al23:=a23/a22;
al24:=a24/a22;
 
al31:=a31/a33;
al32:=a32/a33;
al34:=a34/a33;
 
al41:=a41/a44;
al42:=a42/a44;
al43:=a43/a44;
 
x:=0;
repeat
x1:=bet1+al12*x2+al13*x3+al14*x4;
x2:=bet2+al21*x1+al23*x3+al24*x4;
x3:=bet3+al31*x1+al32*x2+al34*x4;
x4:=bet4+al41*x1+al42*x2+al43*x3;
 
until (abs(x1)>e) and (abs(x2)<e) and (abs(x3)<e) and (abs(x4)<e);
 
writeln('X1=',x1);
writeln('X2=',x2);
writeln('X3=',x3);
writeln('X4=',x4);
 
end.

@reyn90 · 20.05.2011, 18:49 **[ТС]**

Отредактировал немного код

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
const e=0.0001;
var
bet1,bet2,bet3,bet4:real;
al12,al13,al14,al21,al23,al24,al31,al32,al34,al41,al42,al43:real;
x1,x2,x3,x4:real;
a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44,b1,b2,b3,b4:real;
 
xx1,xx2,xx3,xx4,buf1,buf2,buf3,buf4:real;
 
begin
buf1:=0;
buf2:=0;
buf3:=0;
buf4:=0;
 
a11:=2;
a12:=3.5;
a13:=-4.5;
a14:=1;
 
a21:=1;
a22:=-2.5;
a23:=-4.5;
a24:=1;
 
a31:=10;
a32:=-7;
a33:=-1;
a34:=8;
 
a41:=10;
a42:=-2;
a43:=-1;
a44:=2;
 
b1:=3;
b2:=2;
b3:=3;
b4:=-4;
 
writeln('Система уровнений:');
writeln(abs(a11),'x1+',abs(a12),'x2-',abs(a13),'x3+',abs(a14),'x4=',b1);
writeln(abs(a21),'x1-',abs(a22),'x2-',abs(a23),'x3+',abs(a24),'x4=',b2);
writeln(abs(a31),'x1-',abs(a32),'x2-',abs(a33),'x3+',abs(a34),'x4=',b3);
writeln(abs(a41),'x1-',abs(a42),'x2-',abs(a43),'x3+',abs(a44),'x4=',b4);
writeln('Имеет решение с точностью ',e,':');
 
bet1:=b1/a11;
bet2:=b2/a22;
bet3:=b3/a33;
bet4:=b4/a44;
 
al12:=a12/a11;
al13:=a13/a11;
al14:=a14/a11;
 
al21:=a21/a22;
al23:=a23/a22;
al24:=a24/a22;
 
al31:=a31/a33;
al32:=a32/a33;
al34:=a34/a33;
 
al41:=a41/a44;
al42:=a42/a44;
al43:=a43/a44;
 
x1:=0;
x2:=0;
x3:=0;
x4:=0;
 
repeat
buf1:=x1;
buf2:=x2;
buf3:=x3;
buf4:=x4;
 
x1:=bet1+al12*x2+al13*x3+al14*x4;
x2:=bet2+al21*x1+al23*x3+al24*x4;
x3:=bet3+al31*x1+al32*x2+al34*x4;
x4:=bet4+al41*x1+al42*x2+al43*x3;
 
 
 
xx1:=abs(buf1-x1);
xx2:=abs(buf2-x2);
xx3:=abs(buf3-x3);
xx4:=abs(buf4-x4);
  {
x1:=buf1;
x2:=buf2;
x3:=buf3;
x4:=buf4;
           }
writeln('X1=',x1);
writeln('X2=',x2);
writeln('X3=',x3);
writeln('X4=',x4);
 
until (xx1<e) and (xx2<e) and (xx3<e) and (xx4<e);
end.

@reyn90 · 22.05.2011, 15:42 **[ТС]**

33 просмотра, а никто не знает. Неужели никто не поможет?

@taras atavin · 07.07.2011, 07:36

Сообщение от reyn90

У меня в тетрадке такого нароста небыло. В чём же ошибка? Как остановить цикл во время?

Когда достигнешь требуемой точности. Кстати, метод Ньютона предназначен для отдельного уравнения, а не системы.

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от reyn90

X1=9.21119121200813E302
X1=4.95267659250945E304
X1=2.6629569254858E306

Проверь знак приращения.

@Sleep_Walker · 05.09.2011, 19:44

1. Условие останова обычно одно. Можете взять условие когда средняя точность (по модулю) станет меньше заданной.
2. Метод Ньютона - это не метод простых итераций (метод Якоби). Он применяется обычно для нелинейных уравнений и их систем. И вроде там производные считать надо.
3. Вы скорее всего неправильно считаете эквивалентную матрицу коэффициентов. Там вам нужно коэффициенты считать как alpha(i,j) = -a(i,j)/a(i, i). или в строках
x1:=bet1+al12*x2+al13*x3+al14*x4;
x2:=bet2+al21*x1+al23*x3+al24*x4;
x3:=bet3+al31*x1+al32*x2+al34*x4;
x4:=bet4+al41*x1+al42*x2+al43*x3;
писать как
x1:=bet1-al12*x2-al13*x3-al14*x4;
x2:=bet2-al21*x1-al23*x3-al24*x4;
x3:=bet3-al31*x1-al32*x2-al34*x4;
x4:=bet4-al41*x1-al42*x2-al43*x3;
Если выводить метод итераций то изначально у вас есть система:
x1*a11 + x2*a12 + x3*a13 + x4*a14 = b1
x1*a21 + x2*a22 + x3*a23 + x4*a24 = b2
x1*a31 + x2*a32 + x3*a33 + x4*a34 = b3
x1*a41 + x2*a42 + x3*a43 + x4*a44 = b4
Затем вам нужно привести ее к эквивалентному виду.
Вы использовали самый распространенный метод beta(i) = b(i)/a(i,i) alpha(i,j)=-a(i,j)/a(i,i) и alpha(i,i)=0.
Это соответствует системе уравнений
x(1) = beta(1) + alpha(1,1)*x(1) + alpha(1,2)*x(2) +alpha(1,3)*x(3)+alpha(1,4)*x(4)
x(2) = beta(2) + alpha(2,1)*x(1) + alpha(2,2)*x(2) +alpha(2,3)*x(3)+alpha(2,4)*x(4)
x(3) = beta(3) + alpha(3,1)*x(1) + alpha(3,2)*x(2) +alpha(3,3)*x(3)+alpha(3,4)*x(4)
x(4) = beta(4) + alpha(4,1)*x(1) + alpha(4,2)*x(2) +alpha(4,3)*x(3)+alpha(4,4)*x(4)
то есть вы диагональные иксы оставляете слева, а все остальное переносите вправо и делите на диагональные а(i,i). А диагональные alpha(i,i) справа приравниваете 0.
4. За начальное приближение можно взять как x=0, так и x(i)=beta(i). Количество итераций, необходимых для сходимости будет разным.
5. Условие останова может стать одна из норм вектора невязки (разность между новым и старым значением х ). Например, кроме среднего значения невязки по всем х, можно взять норму Фробениуса(среднеквадратичное). Для вектора это будет:
epsilon = sqrt((x1nov - x1star)^2 + (x2nov - x2star)^2 + (x3nov - x3star)^2 + (x4nov - x4star)^2)
6. Советую найти(можно и в инете) книжку Формалев. Ревизников. Численные методы.
В ней на каждый метод пример подробный рассмотрен.

Добавлено через 6 минут
Или на той же Википедии почитайте про метод Ньютона (это не метод простых итераций). Там про многомерный случай рассказано. Там не все так тривиально. нужно немножко подумать..Правда если задача актуальна еще.

@reyn90 · 06.09.2011, 06:53 **[ТС]**

Сообщение от Sleep_Walker

1. Условие останова обычно одно. Можете взять условие когда средняя точность (по модулю) станет меньше заданной.
2. Метод Ньютона - это не метод простых итераций (метод Якоби). Он применяется обычно для нелинейных уравнений и их систем. И вроде там производные считать надо.
3. Вы скорее всего неправильно считаете эквивалентную матрицу коэффициентов. Там вам нужно коэффициенты считать как alpha(i,j) = -a(i,j)/a(i, i). или в строках
x1:=bet1+al12*x2+al13*x3+al14*x4;
x2:=bet2+al21*x1+al23*x3+al24*x4;
x3:=bet3+al31*x1+al32*x2+al34*x4;
x4:=bet4+al41*x1+al42*x2+al43*x3;
писать как
x1:=bet1-al12*x2-al13*x3-al14*x4;
x2:=bet2-al21*x1-al23*x3-al24*x4;
x3:=bet3-al31*x1-al32*x2-al34*x4;
x4:=bet4-al41*x1-al42*x2-al43*x3;
Если выводить метод итераций то изначально у вас есть система:
x1*a11 + x2*a12 + x3*a13 + x4*a14 = b1
x1*a21 + x2*a22 + x3*a23 + x4*a24 = b2
x1*a31 + x2*a32 + x3*a33 + x4*a34 = b3
x1*a41 + x2*a42 + x3*a43 + x4*a44 = b4
Затем вам нужно привести ее к эквивалентному виду.
Вы использовали самый распространенный метод beta(i) = b(i)/a(i,i) alpha(i,j)=-a(i,j)/a(i,i) и alpha(i,i)=0.
Это соответствует системе уравнений
x(1) = beta(1) + alpha(1,1)*x(1) + alpha(1,2)*x(2) +alpha(1,3)*x(3)+alpha(1,4)*x(4)
x(2) = beta(2) + alpha(2,1)*x(1) + alpha(2,2)*x(2) +alpha(2,3)*x(3)+alpha(2,4)*x(4)
x(3) = beta(3) + alpha(3,1)*x(1) + alpha(3,2)*x(2) +alpha(3,3)*x(3)+alpha(3,4)*x(4)
x(4) = beta(4) + alpha(4,1)*x(1) + alpha(4,2)*x(2) +alpha(4,3)*x(3)+alpha(4,4)*x(4)
то есть вы диагональные иксы оставляете слева, а все остальное переносите вправо и делите на диагональные а(i,i). А диагональные alpha(i,i) справа приравниваете 0.
4. За начальное приближение можно взять как x=0, так и x(i)=beta(i). Количество итераций, необходимых для сходимости будет разным.
5. Условие останова может стать одна из норм вектора невязки (разность между новым и старым значением х ). Например, кроме среднего значения невязки по всем х, можно взять норму Фробениуса(среднеквадратичное). Для вектора это будет:
epsilon = sqrt((x1nov - x1star)^2 + (x2nov - x2star)^2 + (x3nov - x3star)^2 + (x4nov - x4star)^2)
6. Советую найти(можно и в инете) книжку Формалев. Ревизников. Численные методы.
В ней на каждый метод пример подробный рассмотрен.

Добавлено через 6 минут
Или на той же Википедии почитайте про метод Ньютона (это не метод простых итераций). Там про многомерный случай рассказано. Там не все так тривиально. нужно немножко подумать..Правда если задача актуальна еще.

Спосибо но я уже давно решил проблему. Надеюсь больше не столкнусь.

@Sleep_Walker · 06.09.2011, 09:55

Пожалуйста

. Та ничего сложного там особо и нету. Только главное аккуратность и нормального преподавателя нужно, ну или хотя бы книжку хорошую.

Добавлено через 20 минут
Да и еще вопрос уже к Вам - ну так для СЛАУ метод Ньютона преобразуется в метод простых итераций или нет?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 31.01.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake для сборки C и C++ приложений в Wasm 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Для того чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. . . .	SDL3 для Android: Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .	Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .	SDL3 для Android: Загрузка PNG с альфа-каналом с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .

@reyn90 1 / 1 / 1 Регистрация: 23.05.2009 Сообщений: 52
	22.05.2011, 15:42 [ТС]
	33 просмотра, а никто не знает. Неужели никто не поможет? 0

@Sleep_Walker 0 / 0 / 0 Регистрация: 05.09.2011 Сообщений: 6
	05.09.2011, 19:44
	1. Условие останова обычно одно. Можете взять условие когда средняя точность (по модулю) станет меньше заданной. 2. Метод Ньютона - это не метод простых итераций (метод Якоби). Он применяется обычно для нелинейных уравнений и их систем. И вроде там производные считать надо. 3. Вы скорее всего неправильно считаете эквивалентную матрицу коэффициентов. Там вам нужно коэффициенты считать как alpha(i,j) = -a(i,j)/a(i, i). или в строках x1:=bet1+al12x2+al13x3+al14x4; x2:=bet2+al21x1+al23x3+al24x4; x3:=bet3+al31x1+al32x2+al34x4; x4:=bet4+al41x1+al42x2+al43x3; писать как x1:=bet1-al12x2-al13x3-al14x4; x2:=bet2-al21x1-al23x3-al24x4; x3:=bet3-al31x1-al32x2-al34x4; x4:=bet4-al41x1-al42x2-al43x3; Если выводить метод итераций то изначально у вас есть система: x1a11 + x2a12 + x3a13 + x4a14 = b1 x1a21 + x2a22 + x3a23 + x4a24 = b2 x1a31 + x2a32 + x3a33 + x4a34 = b3 x1a41 + x2a42 + x3a43 + x4a44 = b4 Затем вам нужно привести ее к эквивалентному виду. Вы использовали самый распространенный метод beta(i) = b(i)/a(i,i) alpha(i,j)=-a(i,j)/a(i,i) и alpha(i,i)=0. Это соответствует системе уравнений x(1) = beta(1) + alpha(1,1)x(1) + alpha(1,2)x(2) +alpha(1,3)x(3)+alpha(1,4)x(4) x(2) = beta(2) + alpha(2,1)x(1) + alpha(2,2)x(2) +alpha(2,3)x(3)+alpha(2,4)x(4) x(3) = beta(3) + alpha(3,1)x(1) + alpha(3,2)x(2) +alpha(3,3)x(3)+alpha(3,4)x(4) x(4) = beta(4) + alpha(4,1)x(1) + alpha(4,2)x(2) +alpha(4,3)x(3)+alpha(4,4)x(4) то есть вы диагональные иксы оставляете слева, а все остальное переносите вправо и делите на диагональные а(i,i). А диагональные alpha(i,i) справа приравниваете 0. 4. За начальное приближение можно взять как x=0, так и x(i)=beta(i). Количество итераций, необходимых для сходимости будет разным. 5. Условие останова может стать одна из норм вектора невязки (разность между новым и старым значением х ). Например, кроме среднего значения невязки по всем х, можно взять норму Фробениуса(среднеквадратичное). Для вектора это будет: epsilon = sqrt((x1nov - x1star)^2 + (x2nov - x2star)^2 + (x3nov - x3star)^2 + (x4nov - x4star)^2) 6. Советую найти(можно и в инете) книжку Формалев. Ревизников. Численные методы. В ней на каждый метод пример подробный рассмотрен. Добавлено через 6 минут Или на той же Википедии почитайте про метод Ньютона (это не метод простых итераций). Там про многомерный случай рассказано. Там не все так тривиально. нужно немножко подумать..Правда если задача актуальна еще. 0

@Sleep_Walker 0 / 0 / 0 Регистрация: 05.09.2011 Сообщений: 6
	06.09.2011, 09:55
	Пожалуйста . Та ничего сложного там особо и нету. Только главное аккуратность и нормального преподавателя нужно, ну или хотя бы книжку хорошую. Добавлено через 20 минут Да и еще вопрос уже к Вам - ну так для СЛАУ метод Ньютона преобразуется в метод простых итераций или нет? 0