Гравитация внутри полой сферы - Физика - Страница 2

@Элд Хасп · 15.01.2020, 11:40 **[ТС]**

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Сообщение от iifat

Кстати говоря, в числителе там h-R*cos(a)

Да, этот коэффициент отражает изменение расстояния от точки до точки на сфере располагающейся на окружности этого угла.
Может равняться нулю только в случае если точка находится на сфере и угол равен нулю.
Но так как угол это переменная интегрирования, то общая функция интегрирования равна нулю только при h=0. Что я и показал в (12).

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от Элд Хасп

Да, этот коэффициент отражает изменение расстояния от точки до точки на сфере располагающейся на окружности этого угла.

Ошибся.
О точки до ПЛОСКОСТИ окружности.

@Элд Хасп · 15.01.2020, 12:35 **[ТС]**

wer1 и iifat нашли ошибку в формуле (11) - в числителе должно быть h-R cos(a).

Вношу ,соответствующие, изменения

Формула притяжения между точкой и окружностью на сфере (11):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f=G*\frac{{m}_{1}M}{2}*\frac{sin(\alpha )*\left(h-Rcos(\alpha ) \right)}{{\left({h}^{2}-2hR*cos(\alpha ) +{R}^{2}\right)}^{1.5}}$

Формула притяжения между точкой и сферой это интеграл от этой функции (11.а):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F = \int_{0}^{\pi }f(\alpha )d\alpha =\int_{0}^{\pi }G*\frac{{m}_{1}M}{2}*\frac{sin(\alpha )*\left(h-Rcos(\alpha ) \right)}{{\left({h}^{2}-2hR*cos(\alpha ) +{R}^{2}\right)}^{1.5}}d\alpha$

Интеграл для h=0 (12). Результат тот же, но формула интеграла другая.
Я ещё ни как понять не мог - почему R в кубе?! На результат не влияет, но должно же быть в квадрате!
Вот взаимными усилиями и разобрались:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{0}=\int_{0}^{\pi }G*\frac{{m}_{1}M}{2}*\frac{-sin(\alpha )Rcos(\alpha )}{{R}^{3}}d\alpha =-G*\frac{{m}_{1}M}{2{R}^{2}}*\frac{1}{4}cos(2\alpha )\left|\frac{\pi }{0}=0$

Для h>>R (13) - не меняется. При h >> R, h-R cos(a) всё равно обращается в h.

Добавлено через 55 минут

Сообщение от Элд Хасп

Для h>>R (13) - не меняется. При h >> R, h-R cos(a) всё равно обращается в h.

Не меняется, но там ошибка при расчёте значения уже после получения интеграла

Правильно так (13):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{rr}=\int_{0}^{\pi }G*\frac{{m}_{1}M}{2}*\frac{sin(\alpha )h}{{h}^{3}}d\alpha =-G*\frac{{m}_{1}M}{2{h}^{2}}*cos(\alpha )\left|\frac{\pi }{0}=G*\frac{{m}_{1}M}{{h}^{2}}$

@Ygg · 15.01.2020, 13:51

Лагранжева механика 3 (2016/2017) В.А. Побережный
В этом пособии нет подробного интегрирования, но автор рассматривает вопросы гравитации шара и сферы. Ещё он рекомендует в вычислениях пользоваться потенциалом, а не силой.

Почему стоит переходить от силы к потенциалу? Потому что это удобно – сила величина векторная, суммируя или интегрируя её приходится считать проекции на координатные оси, кроме того, компоненты вектора силы будучи частными производными не очень уж просто ведут себя при заменах координат, что также затрудняет счёт интегралов. Ну и наконец, в потенциал расстояние входит в минус первой степени, а силу в минус второй, можно надеяться, что и нужные нам подынтегральные выражения будет в этом случае попроще.

@Элд Хасп · 15.01.2020, 15:10 **[ТС]**

Ygg, спасибо- обязательно прочитаю.
То что по полевой (потенциальной) теории вывод получается простой - я знаю.
Там элементарно. В первом приближении - раз внутри нет массы, заряда, то потенциал не меняется. А сила притяжения (импульс вроде?) - это производная от потенциала. Значит она равна нулю.

Меня интересует доказательства полученные до изобретения полевой теории, полученные в том, числе самим Ньютоном, который не признавал поля.

Добавлено через 6 минут
Прочитал.
Там только потенциальная теория.
Мне же интересно как это доказывается в классической Ньютоновской механике.
Ведь согласно Релятивистской механики Ньютоновские законы соблюдаются при малых скоростях и массах.
То есть в нашем случае они должны полностью совпадать, так мы отбрасываем искривление пространства массой и рассматриваем силы только в состоянии покоя.

@Ygg · 15.01.2020, 15:17

Сообщение от Элд Хасп

Мне же интересно как это доказывается в классической Ньютоновской механике

Так, вроде, Ньютон использовал как раз не строгое с математической точки зрения доказательство, интерпретация которого приведена ещё в первой вашей ссылке. Там где рассматривается уравновешивание сил от подобных секторов сферы, расположенных по разные стороны от исследуемой точки внутри сферы. По ссылке у Побережного то же упоминается это доказательство. Про релятивизм там вообще ничего нет, вроде, только классическая теория.

Приведём вместо строгого доказательства принадлежащее Ньютону рассуждение о гравитационном потенциале внутри шарового слоя.

@Элд Хасп · 15.01.2020, 15:24 **[ТС]**

Ygg, в любом случае, разве сам Ньтоновский закон тяготения не должен давать такой же ответ при прямом применении?
Если нет то почему?
Или где ошибка в моих вычислениях по этому закону?

@Ygg · 15.01.2020, 16:13

Сообщение от Элд Хасп

разве сам Ньтоновский закон тяготения не должен давать такой же ответ при прямом применении?

Думаю, что должен. У меня нет должной практики применения интегрирования для решения задач. Я ни только не смогу проинтегрировать ваше выражение 11, но даже не могу с уверенностью сказать верно ли оно составлено, хотя всё выглядит логично.

Вот ещё вариант перевода "Математические начала натуральной философии" И. Ньютона. Если я правильно понимаю, то обсуждаемый вами вопрос рассматривается там в главе "О притягательных силах сферических тел" на странице 244. "Предложение LXX. Теорема XXX." и "Предложение LXXI. Теорема XXXI."

@Элд Хасп · 15.01.2020, 16:23 **[ТС]**

Ygg, прочитаю.
Спасибо.

@TRam_ · 15.01.2020, 18:02

Элд Хасп, обычно это доказывается как следствие теоремы Гаусса ( https://ru.wikipedia.org/wiki/... 1%81%D0%B0 )

А так, по твоему интегралу - он вроде бы берётся в общем виде, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin(\alpha)d\alpha = - d\left( cos(\alpha)\right)$ и далее решать относительно заменённого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos(\alpha)$ по частям.

@Элд Хасп · 15.01.2020, 20:45 **[ТС]**

TRam_, я же писал об этом.
Как в теории полей, через гравитационный потенциал это доказывается - понятно.
Но как согласуется с классической Ньютоновской механикой - не понятно.

Если интегралах разбираетесь посмотрите тему Получение интеграла в общем виде

Я там пока остановился - может сможете подсказать куда дальше.

@TRam_ · 15.01.2020, 22:58

Элд Хасп, ответил в той теме. Там правильный ответ дали.

@Элд Хасп · 16.01.2020, 02:18 **[ТС]**

Я докопался.
Правда исписал листов десять , наверное, пока вник.

После интегрирования коэффициент принимает значение

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}*\left(\frac{h+R}{h^2\left|h+R \right|}+\frac{h-R}{h^2\left|h-R \right|} \right)$

И получается, именно, ступенчатая функция.

При |h| > R - значение функции во всём диапазоне равно 1/h^2

При |h| < R - значение функции во всём диапазоне равно 0 !

Добавлено через 1 час 27 минут
Можно ещё упрощение сделать

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2h^2}*\left(\frac{h+R}{\left|h+R \right|}+\frac{h-R}{\left|h-R \right|} \right)$

Выражение в скобках - ступенчатая функция.
Принимает только значения два и ноль.

@Ygg · 16.01.2020, 10:26

Элд Хасп, самое главное, что вы нашли ответ на свой вопрос и докопались, это всегда приятно. Для тех, кто заглянет сюда в будущем было бы интересно увидеть выкладки по взятию интеграла. Но, я так понял, вычислений много, а редактор формул тут не очень удобен. Хотя бы в общих чертах, исходная подынтегральная формула (11) верна и нужно только правильно посчитать для неё интеграл?

@TRam_ · 16.01.2020, 12:24

Сообщение от Ygg

исходная подынтегральная формула (11)

Только в том виде, в котором она указана в посте #22 (11.a)

Сообщение от Ygg

в будущем было бы интересно увидеть выкладки по взятию интеграла

Получение интеграла в общем виде

@Ygg · 16.01.2020, 12:56

TRam_, ясно, теперь наконец понял всю последовательность, а то никак отдельные сообщения не укладывались в голове

Значит как-то так:
1. Получили интеграл для сферы 11.а пост 22 Элд Хасп
2. Нашли аналитическое решение интеграла, но не совсем точно подставили границы пост 7 wer1
3. Потом вы заметили, что корень из квадрата даёт не значение под квадратом, а модуль значения пост 14 TRam_.
4. И наконец, полное выражение с правильно подставленными границами интеграла пост 32 Элд Хасп.

iifat · 16.01.2020, 13:29

Тоже поздравляю

Сообщение от Элд Хасп

Как в теории полей, через гравитационный потенциал это доказывается - понятно.
Но как согласуется с классической Ньютоновской механикой - не понятно

Таки на всякий случай добавлю: гравитационный потенциал — математическиое следствие закона Ньютона, а вовсе никакая не ещё одна физическая «теория поля».

Сообщение от Элд Хасп

раз внутри нет массы, заряда, то потенциал не меняется

А это уж совсем странно. Возьмём сферу в сторонке — там никаких масс, а потенциал таки ж разный.

@Элд Хасп · 16.01.2020, 21:13 **[ТС]**

Сообщение от Ygg

Хотя бы в общих чертах, исходная подынтегральная формула (11) верна и нужно только правильно посчитать для неё интеграл?

Как правильно отметил TRam_, начиная с поста #22 всё правильно.

Применяется интегрирование "по частям"

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int fg'=fg-\int f'g$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f= r*cos(a)-h$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g'=\frac{sin(a)}{\left(-2*h*r*cos(a)*+r^2+h^2 \right)}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'=-r*sin(a)$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g=\frac{-sin(a)}{h*r*\sqrt{-2*h*r*cos(a)*+r^2+h^2}}$

В результате дальнейших упрощений, подставлений получаем неопределённый интеграл

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{r-h*cos(a)}{h^2\sqrt{h^2-r\left(2*h*cos(a)-r \right)}}+C$

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от iifat

Таки на всякий случай добавлю: гравитационный потенциал — математическиое следствие закона Ньютона, а вовсе никакая не ещё одна физическая «теория поля».

Как бы знаю это.
Но в этом случае в голове не укладывалось как они умудряются сходиться.
Даже проведя все расчёты, для меня это остаётся удивительным.

Добавлено через 44 секунды

Сообщение от iifat

А это уж совсем странно. Возьмём сферу в сторонке — там никаких масс, а потенциал таки ж разный.

Не понял... О чём вы?

iifat · 17.01.2020, 00:07

Сообщение от Элд Хасп

О чём вы?

О цитате из вас, которую я привёл.

@Элд Хасп · 17.01.2020, 02:24 **[ТС]**

Сообщение от iifat

О цитате из вас, которую я привёл.

раз внутри нет массы, заряда, то потенциал не меняется
Аналогия с "идеальным" батутом.
Если на него положить кольцо, то батут прогнётся снаружи кольца.
Внутри кольца он будет ровный.

Может я как-то коряво изъяснился.

iifat · 17.01.2020, 03:51

Сообщение от Элд Хасп

Внутри кольца он будет ровный

Плоский! Он будет плоский, но не ровный -- можно и наклонный сделать.
В общем, в этих метафорах я запутался. Однако уверен в том, что если таки взять в сторонке невесомую сферу, то потенциал внутри её не будет постоянным несмотря на отсутствие масс и зарядов.

Добавлено через 1 минуту
Да,как, впрочем, и весомую. Воздействие сферы на массу внутре нулевое, но если есть ещё какая-нить масса -- внутри ли, снаружи -- её притяжение ничем не компенсируется.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Асинхронный приём данных из COM-порта Argus19 01.05.2026 Асинхронный приём данных из COM-порта Купил на aliexpress термопринтер QR701. Он оказался странным. Поключил к Arduino Nano. Был очень удивлён. Наотрез отказывается печатать русские буквы. Чтобы. . .	попытка написать игровой сервер на C++ pyirrlicht 29.04.2026 попытка написать игровой сервер на плюсах с открытым бесконечным миром. возможно получится прикрутить интерпретатор питон для кастомизации игровой логики. что есть на текущий момент:. . .	Контроль уникальности выбранного документа-основания при изменении реквизита Maks 28.04.2026 Алгоритм из решения ниже разработан на примере нетипового документа "ЗаявкаНаРемонтСпецтехники", разработанного в КА2. Задача: уведомлять пользователя, если указанная заявка (документ-основание). . .	Благородство как наказание Maks 24.04.2026 У хорошего человека отношения с женщинами всегда складываются трудно. А я человек хороший. Заявляю без тени смущения, потому что гордиться тут нечем. От хорошего человека ждут соответствующего. . .
Валидация и контроль данных табличной части документа перед записью Maks 22.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа, разработанного в КА2. Задача: контроль и валидация данных табличной части документа перед записью с учетом регламента компании. . .	Отчёт о затраченных материалах за определенный период с макетом печатной формы Maks 21.04.2026 Отчёт из решения ниже размещён в конфигурации КА2. Задача: разработка отчёта по затраченным материалам за определённый период, с возможностью вывода печатной формы отчёта с шапкой и подвалом. В. . .	Отчёт о спецтехнике находящейся в ремонте Maks 20.04.2026 Отчёт из решения ниже размещен в конфигурации КА2. Задача: отобразить спецтехнику, которая на данный момент находится в ремонте. Есть нетиповой документ "Заявка на ремонт спецтехники" который. . .	Памятка для бота и "визитка" для читателей "Semantic Universe Layer (Слой семантической вселенной)" Hrethgir 19.04.2026 Сгенерировано для краткого описания по случаю сборки и компиляции скелета серверного приложения. И пусть после этого скажут, что статьи сгенерированные AI - туфта и не интересно. И это не реклама -. . .

@Ygg 2736 / 891 / 331 Регистрация: 10.02.2018 Сообщений: 2,123
	15.01.2020, 13:51
	Лагранжева механика 3 (2016/2017) В.А. Побережный В этом пособии нет подробного интегрирования, но автор рассматривает вопросы гравитации шара и сферы. Ещё он рекомендует в вычислениях пользоваться потенциалом, а не силой. Почему стоит переходить от силы к потенциалу? Потому что это удобно – сила величина векторная, суммируя или интегрируя её приходится считать проекции на координатные оси, кроме того, компоненты вектора силы будучи частными производными не очень уж просто ведут себя при заменах координат, что также затрудняет счёт интегралов. Ну и наконец, в потенциал расстояние входит в минус первой степени, а силу в минус второй, можно надеяться, что и нужные нам подынтегральные выражения будет в этом случае попроще. 0

@Элд Хасп Модератор 16150 / 11271 / 2890 Регистрация: 21.04.2018 Сообщений: 33,144 Записей в блоге: 2
	15.01.2020, 15:10 [ТС]
	Ygg, спасибо- обязательно прочитаю. То что по полевой (потенциальной) теории вывод получается простой - я знаю. Там элементарно. В первом приближении - раз внутри нет массы, заряда, то потенциал не меняется. А сила притяжения (импульс вроде?) - это производная от потенциала. Значит она равна нулю. Меня интересует доказательства полученные до изобретения полевой теории, полученные в том, числе самим Ньютоном, который не признавал поля. Добавлено через 6 минут Прочитал. Там только потенциальная теория. Мне же интересно как это доказывается в классической Ньютоновской механике. Ведь согласно Релятивистской механики Ньютоновские законы соблюдаются при малых скоростях и массах. То есть в нашем случае они должны полностью совпадать, так мы отбрасываем искривление пространства массой и рассматриваем силы только в состоянии покоя. 0

@Элд Хасп Модератор 16150 / 11271 / 2890 Регистрация: 21.04.2018 Сообщений: 33,144 Записей в блоге: 2
	15.01.2020, 15:24 [ТС]
	Ygg, в любом случае, разве сам Ньтоновский закон тяготения не должен давать такой же ответ при прямом применении? Если нет то почему? Или где ошибка в моих вычислениях по этому закону? 0

@Элд Хасп Модератор 16150 / 11271 / 2890 Регистрация: 21.04.2018 Сообщений: 33,144 Записей в блоге: 2
	15.01.2020, 16:23 [ТС]
	Ygg, прочитаю. Спасибо. 0

@TRam_ зомбяк 1585 / 1219 / 345 Регистрация: 14.05.2017 Сообщений: 3,940
	15.01.2020, 18:02
	Элд Хасп, обычно это доказывается как следствие теоремы Гаусса ( https://ru.wikipedia.org/wiki/... 1%81%D0%B0 ) А так, по твоему интегралу - он вроде бы берётся в общем виде, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin(\alpha)d\alpha = - d\left( cos(\alpha)\right)$ и далее решать относительно заменённого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos(\alpha)$ по частям. 1

@Элд Хасп Модератор 16150 / 11271 / 2890 Регистрация: 21.04.2018 Сообщений: 33,144 Записей в блоге: 2
	15.01.2020, 20:45 [ТС]
	TRam_, я же писал об этом. Как в теории полей, через гравитационный потенциал это доказывается - понятно. Но как согласуется с классической Ньютоновской механикой - не понятно. Если интегралах разбираетесь посмотрите тему Получение интеграла в общем виде Я там пока остановился - может сможете подсказать куда дальше. 0

@TRam_ зомбяк 1585 / 1219 / 345 Регистрация: 14.05.2017 Сообщений: 3,940
	15.01.2020, 22:58
	Элд Хасп, ответил в той теме. Там правильный ответ дали. 1

@Элд Хасп Модератор 16150 / 11271 / 2890 Регистрация: 21.04.2018 Сообщений: 33,144 Записей в блоге: 2
	16.01.2020, 02:18 [ТС]
	Я докопался. Правда исписал листов десять , наверное, пока вник. После интегрирования коэффициент принимает значение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\left(\frac{h+R}{h^2\left\|h+R \right\|}+\frac{h-R}{h^2\left\|h-R \right\|} \right)$ И получается, именно, ступенчатая функция. При \|h\| > R - значение функции во всём диапазоне равно 1/h^2 При \|h\| < R - значение функции во всём диапазоне равно 0 ! Добавлено через 1 час 27 минут* Можно ещё упрощение сделать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2h^2}*\left(\frac{h+R}{\left\|h+R \right\|}+\frac{h-R}{\left\|h-R \right\|} \right)$ Выражение в скобках - ступенчатая функция. Принимает только значения два и ноль. 1

@Ygg 2736 / 891 / 331 Регистрация: 10.02.2018 Сообщений: 2,123
	16.01.2020, 10:26
	Элд Хасп, самое главное, что вы нашли ответ на свой вопрос и докопались, это всегда приятно. Для тех, кто заглянет сюда в будущем было бы интересно увидеть выкладки по взятию интеграла. Но, я так понял, вычислений много, а редактор формул тут не очень удобен. Хотя бы в общих чертах, исходная подынтегральная формула (11) верна и нужно только правильно посчитать для неё интеграл? 0

@Ygg 2736 / 891 / 331 Регистрация: 10.02.2018 Сообщений: 2,123
	16.01.2020, 12:56
	TRam_, ясно, теперь наконец понял всю последовательность, а то никак отдельные сообщения не укладывались в голове Значит как-то так: 1. Получили интеграл для сферы 11.а пост 22 Элд Хасп 2. Нашли аналитическое решение интеграла, но не совсем точно подставили границы пост 7 wer1 3. Потом вы заметили, что корень из квадрата даёт не значение под квадратом, а модуль значения пост 14 TRam_. 4. И наконец, полное выражение с правильно подставленными границами интеграла пост 32 Элд Хасп. 1