Решение

@Gasratov · 27.02.2022, 19:49 **[ТС]**

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Сообщение от Igor3D

скалярное произведение

Вот скалярное произведение реально непонятно, как вылупилось. Как до него додумались.

Добавлено через 17 минут
Если про векторное произведение еще понятно, что результатом является площадь параллелограмма построенного на двух векторах, то со скалярным произведением никакой аналогии, кроме как просто "число" в голову не приходит.

Добавлено через 7 минут
Это нужно просто принять. Другое дело, что это правда и из этого можно извлекать пользу. Вот проекцию можно найти, ортогональность проверить. Но мозг хотел бы какого-то подспорья за самим скаляром, но получается сначала скаляр, а потом магия.

Добавлено через 3 минуты
Наверное, я не склонен к математике и поэтому мне сложно принять это.

Добавлено через 9 минут

Сообщение от Gasratov

сложно

Но можно!

@one man · 27.02.2022, 19:58

Сообщение от Gasratov

Но мозг хотел бы какого-то подспорья за самим скаляром, но получается сначала скаляр, а потом магия.

Если векторы единичной длины, то их скалярное произведение просто косинус угла между ними. На практике это произведение и служит для поиска угла между векторами, а также прямыми и их отрезками. Если что, разделив любой вектор на его длину, получаем единичный вектор. Но при этом не надо забывать, что на ноль, как всегда, делить нельзя.

@Gasratov · 27.02.2022, 20:12 **[ТС]**

Сообщение от one man

На практике это произведение и служит для поиска угла между векторами, а также прямыми и их отрезками

Это знал.

Сообщение от one man

Если что, разделив любой вектор на его длину, получаем единичный вектор.

За это спасибо!

@Igor3D · 28.02.2022, 10:07

Сообщение от Gasratov

Если про векторное произведение еще понятно, что результатом является площадь параллелограмма построенного на двух векторах,то со скалярным произведением никакой аналогии, кроме как просто "число" в голову не приходит.

Эти 2 вещи (скалярное и векторное) очень фундаментальны, ими решается масса задач. Обычно человек запоминает "пару фактов", типа удвоенная площадь, перпендикулярен обоим, косинус угла и.т.п. Чтобы сдать экзамен - этого может и достаточно, но чтобы работать - нет. "Смыслов" (аналогий, применений) гораздо больше, но для этого надо решать практические задачи, а не просто "читать"

Пример: вот, казалось бы, простейшая задача, чисто на скалярном произведении

Найти точку на отрезке заданном точками p1, p2 c минимальным расстоянием до заданной точки p0

Можно и просто "расстояние от точки до отрезка". Я не говорю что "читать учебники не надо"

, но думаю что если Вы (капитально) разберетесь с этой задачей - поймете/усвоите намного больше. Обычно человек знает что "есть какие-то формулы" - но это все

@Gasratov · 28.02.2022, 19:24 **[ТС]**

Сообщение от Igor3D

Найти точку на отрезке заданном точками p1, p2 c минимальным расстоянием до заданной точки p0

Интересная задача! Есть мысли как её решить.

Добавлено через 4 часа 44 минуты

Сообщение от Igor3D

Можно и просто "расстояние от точки до отрезка"

В координатах изрядно так помучаться пришлось с выкладками, получилось:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h = \frac{|({y}_{2} - {y}_{1}){x}_{0} - ({x}_{2} - {x}_{1}){y}_{0} + {y}_{1}{x}_{2} - {x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{({x}_{2} - {x}_{1})^2 + ({y}_{2} - {y}_{1}})^2}$

Добавлено через 36 секунд

Сообщение от Igor3D

Найти точку на отрезке заданном точками p1, p2 c минимальным расстоянием до заданной точки p0

Мне неочевидно как точку найти

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от Gasratov

В координатах

Не в координатах выражение проще:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h = ||\bar b|sin(\alpha )|$

@one man · 28.02.2022, 22:18

Сообщение от Gasratov

Интересная задача! Есть мысли как её решить.

Допустим, есть отрезок, его концы это точки а и в. Найти кратчайшее расстояние от точки с до этого отрезка. И всё это в 3d.
Решаем.
Обозначим координаты точки внутри этого отрезка как x,y,z
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x= (t-1)\cdot a[1]+t\cdot b[1];$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y= (t-1)\cdot a[2]+t\cdot b[2];$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z= (t-1)\cdot a[3]+t\cdot b[3];$
То есть, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq t\leq 1$ . то точка принадлежит данному отрезку.
Квадрат расстояния от точки с до точки на отрезке равен
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(c[1]-(t-1)\cdot a[1]-t\cdot b[1])^2+(c[2]-(t-1)\cdot a[2]-t\cdot b[2])^2+(c[3]-(t-1)\cdot a[3]-t\cdot b[3])^2$
Находим производную по t и приравниваем её 0:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2\cdot (c[1]-(t-1)\cdot a[1]-t\cdot b[1]))\cdot (-a[1]-b[1])+(2\cdot (c[2]-(t-1)\cdot a[2]-t\cdot b[2]))\cdot (-a[2]-b[2])+(2\cdot (c[3]-(t-1)\cdot a[3]-t\cdot b[3]))\cdot (-a[3]-b[3])=0;$
Если разделить обе части выражения на 2, то мы видим скалярное произведение двух векторов, координаты одного равны координатам данного отрезка, а координаты второго это отрезок x,y,z , с
Другими словами, это простое линейное уравнение относительно t. Если t больше или равно 1, решением будет точка в, если меньше или равно 0, то точка а, ну, а третий вариант это внутри отрезка, и по найденному значению t, мы находим координаты точки внутри отрезка,
Например, если a = (4, 2, 2);b= (0, 11, -7); c:= (6, 17,0.5), то t=1.307142857, и решением будет точка в.

Добавлено через 2 часа 27 минут
Виноват: x= (1-t)*a[1]+t*b[1] и т.д.

Добавлено через 9 минут
t=0.789325843 и тогда ближайшая точка на отрезке (0.842696629, 9.103932585, -5.103932584)

@one man · 28.02.2022, 23:08

И раз уж я немного провинился, то вот ещё и рисунок к первому примеру. Точка а зелёного цвета, в красного, с - понятно

А это пример, когда t меньше 0
а=( 4, 2, 2), в=( 0, 11, -7), с=( 6, 0, 0.5), t= -0.07022471910.
А это точка за отрезком x,y,z= ( 4.280898876, 1.367977528, 2.632022472).

@one man · 02.03.2022, 21:04

Сообщение от Gasratov

У меня есть сомнения, что здесь отличаются понятия об ориентации пространства.

Повторюсь, голой формальностью не обойтись. Вот пример с изменением длины вектора векторного произведения, уменьшается практически до 0. (И где-то ещё был пример, когда вектор меняет направление, то есть синус угла меняет знак.)

@Gasratov · 03.03.2022, 16:06 **[ТС]**

Сообщение от one man

Вот пример с изменением длины вектора векторного произведения, уменьшается практически до 0.

Спасибо. Визуализация очень помогает это всё увидеть.

Сообщение от one man

Допустим, есть отрезок, его концы это точки а и в. Найти кратчайшее расстояние от точки с до этого отрезка. И всё это в 3d.
Решаем.

Есть способ проще. Пусть известны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{A B}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{A C}$ . Расстояние от точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C$ до отрезка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB$ есть

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h = \frac{|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|}{|\overrightarrow{A B}|}$ . Найдём проекцию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{A C}$ на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{A B} \ \ \$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{Pr}_{\overrightarrow{A B}}\overrightarrow{A C} = sqrt(|\overrightarrow{A C}|^2 - h^2) = AT$ . Сейчас нам достаточно найти вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{O T}$

исходящий из начала координат к точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T$ .
Его координаты и есть координаты точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T$ . Мы знаем, что отрезок $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB$ делится в каком-то отношении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{AT}{|\overrightarrow{A B}|} = k$ . Ну $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{O T} = \overrightarrow{O A} + k*\overrightarrow{A B}$ ,

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{O T}, \ \overrightarrow{O A}$ векторы исходящие из начала координат к соответствующим точкам $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T, \ A$ .

@one man · 04.03.2022, 19:49

Сообщение от Gasratov

способ проще

Другими словами, проще, чем решение линейного уравнения с одной переменной? Желательно узнать обоснование.
При виде компактных записей возникают иллюзии, что у нас в руках появилось нечто новое и при этом очень волшебное. Например, назвав матрицу какой-нибудь буквой и умножив её на число, не надо забывать о том, что это означает на самом деле. Вектор это тоже матрица. Отрезком же может быть не только отрезок прямой, но и отрезок кривой. И примером нахождения расстояния от точки до отрезка вполне может быть и такой пример: найти минимальное расстояние от данной точки до кривой. Эта кривая замкнутая и на первом этапе может выполнить роль отрезка.
Кривая:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x3-0.05exp(x1)/(0.05+x1^4+x2^4)=0;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x1-0.5)^2+(x2-0.5)^2+(x3+0.4)^2 - 1=0;$
Пример минимального расстояния от неё до точки:

@Gasratov · 05.03.2022, 19:09 **[ТС]**

Сообщение от one man

Отрезком же может быть не только отрезок прямой, но и отрезок кривой.

Это верно вы подметили. Сейчас над кое-чем подумаю. Видать получается, что ваш способ универсальней.

@one man · 05.03.2022, 20:35

Сообщение от Gasratov

ваш способ универсальнейе

Способ не может быть моим, потому что, насколько я в курсе, это известно ещё со средних веков.

Сообщение от Gasratov

Сейчас над кое-чем подумаю.

Рекомендую подумать о приобщении к пакету компьютерной алгебры Maple. Например, очень много из того, что написано в учебниках и справочниках по математике, там реализовано в виде внешне простых процедур, которыми на самом деле довольно легко пользоваться. То есть, не надо быть ни капельки программистом, чтобы решать с помощью Maple очень сложные задачи. И супер программисту-математику там тоже есть, куда расти.

@one man · 07.03.2022, 22:44

Или пример на тему: что может дать векторное или скалярное произведение для нахождения расстояния
от точки A = [25, -5, 7] просто до линии, заданной такими уравнениями? (Слово "минимальное" пропущено,
потому что другого не подразумевается.)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x= (1+\frac{t}{2}cos(\frac{t}{2}))cos(t); <br /> y= (1+\frac{t}{2}cos(\frac{t}{2}))sin(t);<br /> z=\frac{t}{2}sin(\frac{t}{2}$

Добавлено через 18 минут
Кому интересно, у меня получилось расстояние 8.54211539, а точка на линии [26.06165198, -1.372251184, -0.6602917]

@one man · 07.03.2022, 23:10

Точка А красного цвета

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Беседа с ИИ о программистах, недопускающих к созданию и правке кода генеративные ИИ и причины этого zorxor 21.09.2026 Раньше я радовался или получал некоторые эмоции, пусть небольшие, но всё же, от самого процесса написания кода, рекомпиляции и запуска, видя постепенное развитие программы и прочее. А теперь лень. . .	Мобильное приложение ColorStep pavlinmavlin 17.09.2026 Реализовал приложение Красный, Зеленый, Синий в Unity3d + c#. Название изменил на ColorStep. Приложение прошло модерацию и теперь доступно для скачивания. Делал его сам, шаг за шагом — и вот,. . .	Запрет дублирования строк в табличной части Maks 13.09.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповом справочнике "Нормы ТО" с табличной часть "Виды ТО", разработанного в КА2, со следующими реквизитами: - ВидТО (СправочникСсылка. ВидыТО); - ВидГСМ. . .	Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Jin X 06.09.2026 Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Работая с форумом и нейросетями в браузере часто хочется что-то подкорректировать или добавить какого-то функционала. Ниже прикреплён. . .
Программа опроса у.з. расходомера SLS-720F Argus19 02.09.2026 Программа опроса у. з. расходомера SLS-720F Программа опрашивает один раз в минуту три ультразвуковых расходомера SLS-720F через интерфейс RS-485 по протоколу Modbus RTU. Опрашиваются регистры. . .	Hyper-V: Компьютер должен поддерживать доверенный платформенный модуль 2.0. Maks 31.08.2026 При установке Windows 11 на виртуальную машину Hyper-V 2-го поколения вылезла такая ошибка: Решение: в параметрах виртуальной машины, в разделе "Безопасность" (Security) активировать флаг. . .	Архитектура биовида Стива в Майнкрафте: Зачем бонобо кубический каннибализм anaschu 30.08.2026 Кубический Вагинокапитализм в Minecraft: Математический инвариант ОДУ и рок Стивов-бонобо Главная задача разработанной «Модели Всего» — наглядно продемонстрировать наличие системной «судьбы». . .	Оттачиваю умение писать js программы. russiannick 30.08.2026 Проектом выходного дня стало написание Книги шифров Виженера. Итогом стала версия 200, синий туман. Синий туман назван так, потому что замораживает текст под собой. Нажатие синих кнопок управляют. . .

@one man 23 / 388 / 63 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,532
	28.02.2022, 23:08
	И раз уж я немного провинился, то вот ещё и рисунок к первому примеру. Точка а зелёного цвета, в красного, с - понятно А это пример, когда t меньше 0 а=( 4, 2, 2), в=( 0, 11, -7), с=( 6, 0, 0.5), t= -0.07022471910. А это точка за отрезком x,y,z= ( 4.280898876, 1.367977528, 2.632022472). 1

@one man 23 / 388 / 63 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,532
	07.03.2022, 22:44
	Или пример на тему: что может дать векторное или скалярное произведение для нахождения расстояния от точки A = [25, -5, 7] просто до линии, заданной такими уравнениями? (Слово "минимальное" пропущено, потому что другого не подразумевается.) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x= (1+\frac{t}{2}cos(\frac{t}{2}))cos(t); <br /> y= (1+\frac{t}{2}cos(\frac{t}{2}))sin(t);<br /> z=\frac{t}{2}sin(\frac{t}{2}$ Добавлено через 18 минут Кому интересно, у меня получилось расстояние 8.54211539, а точка на линии [26.06165198, -1.372251184, -0.6602917] 0

@one man 23 / 388 / 63 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,532
	07.03.2022, 23:10
	Точка А красного цвета 0