Одно из доказательств пересечения медиан треугольника в одной точке

В Δ ABC медианы AA₁ и CC₁ пересекаются в точке O.
Из вершины B через точку O проведена прямая линия BB₁ до стороны AC.
Доказать, что AB₁= B₁C.

	Комментарий модератора
	Правила форума: пункт 4.7. Как можно более полно описывайте суть проблемы или вопроса, что было сделано для ее решения и какие результаты получены.

Миниатюры

 

0

Сообщение от Universe-2 Одно из доказательств пересечения медиан треугольника в одной точке

где?

0

Наиболее краткий способ доказательства по этому пути основан на повторении идеи доказательства теоремы Чевы для частного случая (если нельзя сразу сослаться на неё).

1

Universe-2, А в чем вопрос? Вы просите придумать доказательство?
Если можно опираться на утверждение, что медианы пересекаются в одной точке, то это совсем просто.
Если нельзя, то посложнее будет. Можно, например, через формулу площади треугольника.

0

Сообщение от Universe-2 Доказать, что AB1= B1C.

Для прямого доказательства можно воспользоваться свойством средней линии треугольника, теоремой Фалеса и свойствами подобных треугольников.
1. Соединим с , а через точку проведём прямую параллельно . Точки пересечения этой прямой с боковыми сторонами треугольника (слева направо) обозначим через и .
2. Из теоремы Фалеса следует, что . Поэтому подобен , а подобен с одним и тем же коэффициентом подобия. Отсюда получаем, что .
3. Теперь уже, применяя аналогичные рассуждения, легко доказать, что .

0

Вообще-то этих доказательств столько, что стоило бы сначала оговорить, чем пользоваться для доказательства можно. А то можно будет и векторы писать, и свойства аффинных преобразований вспомнить...

0

Mihailm, показав любым способом, что AB₁ = B₁C, мы получим одно из доказательств того, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Kitonum, то, что
Δ EC₁O ~ Δ AC₁C, а
Δ OA₁F ~ Δ AA₁C,
следует уже из построения EF ∥ AC

Да, действительно,
коэффициент подобия треугольников AC₁C и EC₁O равен AC/EO, а
коэффициент подобия треугольников AA₁C и OA₁F равен AC/OF,
из чего следует, что
EO=OF

Распишите, пожалуйста, почему в таком случае
AB₁=B₁C

Миниатюры

 

0

Сообщение от Universe-2 мы получим одно из доказательств того, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

По-прежнему не понял, зачем?

0

Mihailm, вы задали удивительный вопрос!
Потому как его можно применить к доказательствам всех теорем без исключения.
Отвечаю конкретно по теореме "Медианы треугольника пересекаются в одной точке".
Помимо прочего, на базе этого доказанного утверждения можно доказать теорему "Точка пересечения медиан треугольника делит их в отношении 2:1 от вершин треугольника".

0

Universe-2, конкретно вам с какой целью это нужно? Возможно, в такой форме будет понятнее, что именно хочет узнать mihailm (и не только он).

0

Сообщение от Universe-2 Распишите, пожалуйста, почему в таком случае AB1=B1C

Выше доказано, что EO=OF . Теперь рассмотрим 2 пары подобных треугольников: EBO подобен ABB₁ , а OBF подобен BB₁C с тем же коэффициентом подобия. Отсюда и следует AB₁=B₁C .

1

Заголовок Вашей темы:

Сообщение от Universe-2 Одно из доказательств пересечения медиан треугольника в одной точке

Где это одно доказательство, которое Вы уже анонсировали?
Самое краткое решение данной задачи на одной строчке заключается в отсылке к теореме Чевы.

0

Заодно, в предложенном мной выше доказательстве, получены ещё 2 полезных результата:

1. Если в любой трапеции через точку пересечения диагоналей провести отрезок, параллельный основаниям, то этой точкой он делится пополам.

2. Если в любой трапеции через точку пересечения продолжений его боковых сторон провести прямую, делящую пополам одно основание, то эта прямая делит пополам и другое основание.

1

Mathmichel, доказательство в последнем сообщении Kitonum.
Потому как если прямая линия, проведённая из вершины треугольника B на сторону AC через точку O пересечения медион AA₁ и СС1 делит эту сторону пополам, то теорема "Медианы треугольника пересекаются в одной точке" будет доказана.
И потом, не все знают о существовании теоремы Чевы.

И в стартовом сообщении не было установки дать самое краткое решение этой задачи.
А была конкретная установка показать, что AB₁= B₁C

Kitonum, интересные следствия!

Интуитивно понимаешь, что если
коэффициент подобия треугольников EC₁O и AC₁C равен AC/EO, а
коэффициент подобия треугольников OA₁F и AA₁C равен AC/OF,
то при общей стороне AC EO=OF,

и что если
коэффициент подобия треугольников EBO и ABB₁ равен AB₁/EO, а
коэффициент подобия треугольников OBF и B₁BC равен B₁C/OF,
то при EO=OF будет справедливо равенство AB₁=B₁C
Но как это показать?

Миниатюры

 

0

Сообщение от Universe-2 Но как это показать?

Точно также! Коэффициентом подобия двух подобных треугольников называется отношение любых двух сходственных сторон, т.е. сторон, лежащих напротив равных углов. Все 3 таких отношения равны между собой.

0

Ну раз пошла такая пьянка, приведу свой вариант доказательства через формулу площади треугольника.
Треугольники и равновелики, поскольку у них равные основания и и общая высота. По той же причине равновелики треугольники и Из второй «равновеликости» вычитаем первую -- получаем равновеликость треугольников и Подобными же рассуждениями о треугольниках, лежащих возле медианы доказываем равновеликость треугольников и Сопоставив эти два результата, получаем что треугольники и равновелики. У этих треугольников общее основание а значит равны опущенные на него высоты. Но эти высоты, являются также высотами треугольников и опущенными на общую сторону Следовательно, треугольники и также равновелики. У них общая высота, опущенная из вершины а значит, основания и на которые она опущена, равны.

2

На что-то подобное я отвечал.Посмотрите здесь. Может найдете для себя что-нибудь интересное.
Отношения отрезков в треугольной пирамиде

0

Сообщение от palva вариант доказательства через формулу площади треугольника.

Пришло в голову, что что пользуясь той же логикой можно доказать теорему Чевы. Только вместо равенств площадей нужно рассмотреть их отношения.

0

Формулировка названия темы "Одно из доказательств пересечения медиан треугольника в одной точке" в сочетании со словами "Доказать, что AB₁=B₁C" подразумевает, что одним из доказательств этой теоремы будет как раз доказательство этого равенства.

Более подробно расписываю доказательство этой теоремы, приведённое Palva:

Δ AC₁O равновелик Δ C₁BO (у них одинаковые основания по условию и общая высота).
Δ AC₁C равновелик Δ C₁BC (у них те же равные основания и общая высота), следовательно,
Δ AOC равновелик Δ OBC.

Δ OBA₁ равновелик Δ OA₁C (у них одинаковые основания по условию и общая высота).
Δ ABA₁ равновелик Δ AA₁C (у них те же равные основания и общая высота), следовательно,
Δ ABO равновелик Δ AOC.

Доказано, что

S_Δ ABO = S_Δ AOC, но доказано и то, что
S_Δ AOC = S_Δ OBC, следовательно,
S_Δ ABO = S_Δ OBC.

Но эти треугольники имеют общее основание BO, поэтому будут иметь равные высоты, опущенные из вершин A и C на продолжение стороны BO.
В то же время это и высоты треугольников ABB₁и B₁BC, опущенные из вершин A и C на сторону BB₁ и её продолжение.
Следовательно, треугольники ABB₁ и B₁BC равновелики.
У них общая высота, опущенная из вершины B на сторону AB₁ и продолжение стороны B₁C.
Следовательно, основания этих треугольников AB₁ и B₁C равны, то есть

AB₁=B₁C, что и требовалось доказать.

Не нашёл, где в режиме "Правка" можно добавить чертёж, поэтому чертёж отправил со следующим сообщением.

Миниатюры

 

0

Сообщение от Universe-2 Не нашёл, где в режиме "Правка" можно добавить чертёж

Странно. Кнопка со скрепкой

перестала действовать, или Вы её просто не нашли? Совет: используите расширенный режим редактора сообщения.

1