Предел последовательности x_n=sin(n)

@TanyaN · Регистрация: 14.06.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите с доказательством: Докажите, что последовательность x_n=sin(n) не имеет предела при x -> бесконечности.

@jogano · 18.06.2016, 01:28

Пусть предел равен p>0 (можно взять и p<0, это мало меняет доказательство). Выберем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon :=\frac{p}{2}>0$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall N>0$ нужно найти такой номер n>N, чтобы sinn был близок к -1, т.е. чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\approx -\frac{\pi}{2}+\pi k, \: k \in Z$ , тогда sinn выпадет за пределы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(p-\varepsilon ;p+\varepsilon \right)$ , что и будет означать, что число p не является пределом такой последовательности.
Из равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\approx -\frac{\pi}{2}+2\pi k, \: k \in Z$ следует, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{2}\approx \frac{n}{4k-1}>\frac{N}{4k-1} \: \Rightarrow \: 4k-1>\frac{2N}{\pi} \: \Rightarrow \: k:=\left[\frac{N}{2\pi}+\frac{1}{4} \right]+1$ . Найдя k, ищем n: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n:=\left[\frac{\pi}{2}\left(4k-1 \right) \right]+1$
Ошибка при нахождении n такого, чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{n}{4k-1}\approx \frac{\pi}{2}$ , не превышает $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{4k-1}$ , что меньше четверти круга, т.е. sinn будет точно меньше 0, а значит, отклоняться от предполагаемого предела больше чем на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$
например, p=0,2, тогда выбираем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon =0,1$ (такое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ должно существовать) . Тогда для любого номера N, например для N=5, ищется сначала k= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\left[\frac{2,5}{\pi}+0,25 \right]+1=2$ ,а затем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=\left[\frac{\pi}{2}\left(4 \cdot 2-1 \right) \right]+1=11$ такое, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?11 \approx -\frac{\pi}{2}+2 \pi \cdot 2$ . Действительно, правая часть равна 10,995574, а значит sin11 близок к -1, что вне интервала (0,2-0,1;0,2+0,1)

@rurenko · 19.06.2016, 08:03

Есть равносильное определению Коши - определение предела по Гейне. По этому определению для любых последовательностей для x_n стремящихся в бесконечность sin(x_n) должен стремиться к одному и тому же числу. Так вот это определение здесь не выполняется. По последовательности x_n=pin будет sin(x_n)=0, а например по последовательности x_n=pi/2+2pin будет sin(x_n)=1. То есть по разным последовательностям имеем разные числа в пределе. Таким образом, определение Гейне не может быть выполненным и предела не существует.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .
Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025

@TanyaN 0 / 0 / 0 Регистрация: 14.06.2015 Сообщений: 15

	Предел последовательности x_n=sin(n) 18.06.2016, 00:01. Показов 21275. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Помогите с доказательством: Докажите, что последовательность x_n=sin(n) не имеет предела при x -> бесконечности. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	18.06.2016, 01:28
	Пусть предел равен p>0 (можно взять и p<0, это мало меняет доказательство). Выберем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon :=\frac{p}{2}>0$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall N>0$ нужно найти такой номер n>N, чтобы sinn был близок к -1, т.е. чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\approx -\frac{\pi}{2}+\pi k, \: k \in Z$ , тогда sinn выпадет за пределы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(p-\varepsilon ;p+\varepsilon \right)$ , что и будет означать, что число p не является пределом такой последовательности. Из равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\approx -\frac{\pi}{2}+2\pi k, \: k \in Z$ следует, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{2}\approx \frac{n}{4k-1}>\frac{N}{4k-1} \: \Rightarrow \: 4k-1>\frac{2N}{\pi} \: \Rightarrow \: k:=\left[\frac{N}{2\pi}+\frac{1}{4} \right]+1$ . Найдя k, ищем n: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n:=\left[\frac{\pi}{2}\left(4k-1 \right) \right]+1$ Ошибка при нахождении n такого, чтобы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{n}{4k-1}\approx \frac{\pi}{2}$ , не превышает $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{4k-1}$ , что меньше четверти круга, т.е. sinn будет точно меньше 0, а значит, отклоняться от предполагаемого предела больше чем на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ например, p=0,2, тогда выбираем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon =0,1$ (такое $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ должно существовать) . Тогда для любого номера N, например для N=5, ищется сначала k= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\left[\frac{2,5}{\pi}+0,25 \right]+1=2$ ,а затем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=\left[\frac{\pi}{2}\left(4 \cdot 2-1 \right) \right]+1=11$ такое, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?11 \approx -\frac{\pi}{2}+2 \pi \cdot 2$ . Действительно, правая часть равна 10,995574, а значит sin11 близок к -1, что вне интервала (0,2-0,1;0,2+0,1) 1

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278
	19.06.2016, 08:03
	Есть равносильное определению Коши - определение предела по Гейне. По этому определению для любых последовательностей для x_n стремящихся в бесконечность sin(x_n) должен стремиться к одному и тому же числу. Так вот это определение здесь не выполняется. По последовательности x_n=pin будет sin(x_n)=0, а например по последовательности x_n=pi/2+2pin будет sin(x_n)=1. То есть по разным последовательностям имеем разные числа в пределе. Таким образом, определение Гейне не может быть выполненным и предела не существует. 2