Интервал сходимости степенных рядов. Теория с практикой расходятся?

@RoniSakh · Регистрация: 20.12.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Это уже мой личный трабл... Была задача, решил по "научному", то есть по книжному варианту, а потом решил по своему. Вопрос, собственно в моем решении... Может я действительно попутал такие понятия, как ДОСТАТОЧНОЕ условие и НЕОБХОДИМОЕ условие? Просто в тех теоремах, которые я привел - этот нюанс не уточняется...

@Igor · 25.12.2012, 13:59

RoniSakh, а почему Вы решили, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}|\neq 0\ ?$

@RoniSakh · 25.12.2012, 14:01 **[ТС]**

Сообщение от Igor

RoniSakh, а почему Вы решили, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}|\neq 0\ ?$

Я то как раз решил, что РАВНЯЕТСЯ нулю... (см. мой вариант - т.е. 2-е приложение)

ПиСи. Это в теореме так дано - что если НЕ РАВНЯЕТСЯ нулю, то радиус находится по формуле ....

@cmath · 25.12.2012, 17:02

Теорема:
Если ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum a_n$ сходится, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$ .
Доказательство:
Пусть ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum a_n$ сходится, тогда последовательность частичных сумм ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{S_n\}$ - фундаментальная. Т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall \varepsilon \gt 0\;\exist N=N(\varepsilon ):\;\forall n,m\gt N\;|S_n-S_m|\lt \varepsilon$
Возьмем m=n+1, тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|S_n-S_{n+1}|\lt \varepsilon ,\;S_{n+1}-S_n=a_n\Rightarrow |a_n|\lt\varepsilon$ .
***
Эта теорема как раз даёт необходимый признак сходимости: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$ .
Все прочие - достаточные.

@RoniSakh · 25.12.2012, 18:09 **[ТС]**

Сообщение от cmath

Эта теорема как раз даёт необходимый признак сходимости: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$ .
Все прочие - достаточные.

НЕОБХОДИМЫЙ признак сходимости при n-го члена ряда, при x->"бесконечности" - это я знаю. Просто по этому необходимому признаку сложно определить, стремится ли ряд f(x)=(x^n)/n! к СХОДИМОСТИ исходя из общей теории сложно...

Интуитивно понятно, что любой частный ряд типа (2^n)/n! по теореме Абеля стремится к нулю. Просто путем подстановки в число n чисел, допустим от 1 до 10... Если n=1, то 2^1/1=2; Если n=2, то (2^2)/(1*2)=1; Если n=3, то (2^3)/(1*2*3)=8/6=1,333...; Если n=4, то (2^4)/(1*2*3*4)=16/24=0,666...; Если n=5, то (2^5)/(1*2*3*4*5)=32/120=0,266...; и т.д, то есть видно что отношение явно стремится к нулю. Но это же интуитивный метод - или я не прав? Математика ведь, по идее, не терпит интуиции... Где теоремы, где формулы?

Если НЕОБХОДИМЫЙ признак сложно определить, то как быть в данной ситуации? Насчет ДОСТАТОЧНОСТИ - я понял. просто при чтении всех остальных теорем, нужно считать дополнительные условия ДОСТАТОЧНЫМИ, но никак не НЕОБХОДИМЫМИ...

Но как, допустим в данном случае, выйти на НЕОБХОДИМОЕ условие?...

@Igor · 25.12.2012, 18:20

RoniSakh, разберитесь уже, что Вам надо и чего Вы хотите.

@RoniSakh · 25.12.2012, 18:35 **[ТС]**

Могу вместо 2 подставить 10, и даже больше (чтобы подсчитать "вручную" первые члены рядов), но как доказать, что при n=1000000^1000000 (не говоря уже о бесконечности), что функция f(x)=(x^n)/n! стремится к нулю, при n->"бесконечность"...

Добавлено через 10 минут

Сообщение от Igor

RoniSakh, разберитесь уже, что Вам надо и чего Вы хотите.

Я то разобрался чего я хочу - ХОЧУ ВНЯТНОГО ответа на следующее "Если нет однозначного ответа на решение НЕОБХОДИМОГО условия сходимости рядов, то как быть в данной ситуации".

Точнее даже так: "Если нет однозначного ответа на решение НЕОБХОДИМОГО условия сходимости рядов, то как можно решить эту задачу иным способом".

Выше я привел ситуацию... Чисто по законам математики вроде не допускается такая формулировка, так типа "Видно, что путем подстановки первых n-членов, ряд стремится к нулю!".

@Igor · 25.12.2012, 18:37

Составьте отношение и проанализируйте
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{x}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{{x}^{n}}=\frac{x}{n+1}.$
При фиксированном $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ начиная с номера $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\geq [x]$ последовательность будет монотонно убывать и стабилизироваться к нулю, учитывая ограниченность снизу.

@RoniSakh · 25.12.2012, 18:46 **[ТС]**

Сообщение от Igor

Составьте отношение и проанализируйте
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{x}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{{x}^{n}}=\frac{x}{n+1}.$
При фиксированном $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ начиная с номера $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\geq [x]$ последовательность будет монотонно убывать и стабилизироваться к нулю, учитывая ограниченность снизу.

Спасибо! Другую терминологию при доказательстве типа "последовательность будет монотонно убывать и стабилизироваться к нулю, учитывая ограниченность снизу" (через сравнение самой функции)- не знал, и не учел.

Спасибо еще раз Всем, кто ответил и кто прочел! Теперь все ясно. "Звиняюсь" - привычка иногда "сумлеваться";-)

@cmath · 25.12.2012, 18:49

Сообщение от RoniSakh

Просто по этому необходимому признаку сложно определить, стремится ли ряд f(x)=(x^n)/n! к СХОДИМОСТИ исходя из общей теории сложно..

Сообщение от RoniSakh

формулы

Формула Стирлинга:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}=1$ , т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!\sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$ при достаточно больших n.
Поэтому:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x^n}{n!}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(ex)^n}{n^n\sqrt{2\pi n}}$
и каким бы большим не был бы x, всегда найдётся такое n, что n>ex

@RoniSakh · 25.12.2012, 18:57 **[ТС]**

Я из темы "вынес" самое главное - все теоремы, которые содержат какие либо дополнительные условия по поводу сходимости, определения радиуса и/или предела сходимости ЯВЛЯЮТСЯ исключительно достаточными, но не НЕОБХОДИМЫМИ - это для меня главное.

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от cmath

Формула Стирлинга:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}=1$ , т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!\sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$ при достаточно больших n.
Поэтому:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x^n}{n!}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(ex)^n}{n^n\sqrt{2\pi n}}$
и каким бы большим не был бы x, всегда найдётся такое n, что n>ex

Спасибо исчо раз! В любом случае займусь этой темой (это насчет формулы Стирлинга) - я жеж "дотошный";-)

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Очередные открытия мега простых чисел, сделанные добровольцами с помощью домашних компьютеров Programma_Boinc 21.04.2025 Очередные открытия мега простых чисел, сделанные добровольцами с помощью домашних компьютеров. 3 марта 2025 года, в результате обобщенного поиска простых чисел Ферма в PrimeGrid был найден. . .	Система статов в Unity GameUnited 20.04.2025 Статы — фундаментальный элемент игрового дизайна, который определяет характеристики персонажей, предметов и других объектов в игровом мире. Будь то показатель силы в RPG, скорость передвижения в. . .	Статические свойства и методы в TypeScript run.dev 20.04.2025 TypeScript прочно занял своё место в системе современной веб-разработки. Этот строго типизированный язык программирования не просто расширяет возможности JavaScript — он делает разработку более. . .	Batch Transform и Batch Gizmo Drawing API в Unity GameUnited 20.04.2025 В мире разработки игр и приложений на Unity производительность всегда была критическим фактором успеха. Создатели игр постоянно балансируют между визуальной привлекательностью и плавностью работы. . .	Звук в Unity: Рандомизация с Audio Random Container GameUnited 20.04.2025 В современных играх звуковое оформление часто становится элементом, который либо полностью погружает игрока в виртуальный мир, либо разрушает атмосферу за считанные минуты. Представьте: вы исследуете. . .
Максимальная производительность C#: Советы, тестирование и заключение stackOverflow 20.04.2025 Погружение в мир микрооптимизаций C# открывает перед разработчиком целый арсенал мощных техник. Но как определить, где и когда их применять? Ответ начинается с точных измерений и профилирования. . . .	Максимальная производительность C#: Предсказание ветвлений stackOverflow 20.04.2025 Третий ключевой аспект низкоуровневой оптимизации — предсказание ветвлений. Эта тема менее известна среди разработчиков, но её влияние на производительность может быть колоссальным. Чтобы понять. . .	Максимальная производительность C#: Векторизация (SIMD) stackOverflow 20.04.2025 Помимо работы с кэшем, другим ключевым аспектом низкоуровневой оптимизации является векторизация вычислений. SIMD (Single Instruction, Multiple Data) позволяет обрабатывать несколько элементов данных. . .	Максимальная производительность C#: Процессорный кэш stackOverflow 20.04.2025 Знакомство с внутренним устройством процессорного кэша — ключевой шаг в написании по-настоящему быстрого кода на C#. Этот слой архитектуры компьютера часто ускользает от внимания разработчиков, но. . .	Максимальная производительность C#: Введение в микрооптимизации stackOverflow 20.04.2025 В мире разработки на C# многие привыкли полагаться на . NET Runtime, который "магическим образом" сам оптимизирует код. И часто это работает - современные JIT-компиляторы творят чудеса. Но когда речь. . .

@RoniSakh 656 / 374 / 24 Регистрация: 20.12.2012 Сообщений: 545

	Интервал сходимости степенных рядов. Теория с практикой расходятся? 25.12.2012, 13:54. Показов 721. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Это уже мой личный трабл... Была задача, решил по "научному", то есть по книжному варианту, а потом решил по своему. Вопрос, собственно в моем решении... Может я действительно попутал такие понятия, как ДОСТАТОЧНОЕ условие и НЕОБХОДИМОЕ условие? Просто в тех теоремах, которые я привел - этот нюанс не уточняется... Миниатюры 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	25.12.2012, 13:59
	RoniSakh, а почему Вы решили, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \lim_{n\rightarrow \infty}\|\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}\|\neq 0\ ?$ 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	25.12.2012, 17:02
	Теорема: Если ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum a_n$ сходится, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$ . Доказательство: Пусть ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum a_n$ сходится, тогда последовательность частичных сумм ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{S_n\}$ - фундаментальная. Т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall \varepsilon \gt 0\;\exist N=N(\varepsilon ):\;\forall n,m\gt N\;\|S_n-S_m\|\lt \varepsilon$ Возьмем m=n+1, тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|S_n-S_{n+1}\|\lt \varepsilon ,\;S_{n+1}-S_n=a_n\Rightarrow \|a_n\|\lt\varepsilon$ . *** Эта теорема как раз даёт необходимый признак сходимости: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$ . Все прочие - достаточные. 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	25.12.2012, 18:20
	RoniSakh, разберитесь уже, что Вам надо и чего Вы хотите. 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	25.12.2012, 18:37
	Составьте отношение и проанализируйте $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{x}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{{x}^{n}}=\frac{x}{n+1}.$ При фиксированном $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ начиная с номера $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\geq [x]$ последовательность будет монотонно убывать и стабилизироваться к нулю, учитывая ограниченность снизу. 0

Опции темы