Интервал сходимости степенных рядов. Теория с практикой расходятся?

Это уже мой личный трабл... Была задача, решил по "научному", то есть по книжному варианту, а потом решил по своему. Вопрос, собственно в моем решении... Может я действительно попутал такие понятия, как ДОСТАТОЧНОЕ условие и НЕОБХОДИМОЕ условие? Просто в тех теоремах, которые я привел - этот нюанс не уточняется...

Миниатюры

   

0

RoniSakh, а почему Вы решили, что

0

Сообщение от Igor RoniSakh, а почему Вы решили, что

Я то как раз решил, что РАВНЯЕТСЯ нулю... (см. мой вариант - т.е. 2-е приложение)

ПиСи. Это в теореме так дано - что если НЕ РАВНЯЕТСЯ нулю, то радиус находится по формуле ....

0

Теорема:
Если ряд сходится, то .
Доказательство:
Пусть ряд сходится, тогда последовательность частичных сумм ряда - фундаментальная. Т.е.
Возьмем m=n+1, тогда .
***
Эта теорема как раз даёт необходимый признак сходимости: .
Все прочие - достаточные.

1

Сообщение от cmath Эта теорема как раз даёт необходимый признак сходимости: . Все прочие - достаточные.

НЕОБХОДИМЫЙ признак сходимости при n-го члена ряда, при x->"бесконечности" - это я знаю. Просто по этому необходимому признаку сложно определить, стремится ли ряд f(x)=(x^n)/n! к СХОДИМОСТИ исходя из общей теории сложно...

Интуитивно понятно, что любой частный ряд типа (2^n)/n! по теореме Абеля стремится к нулю. Просто путем подстановки в число n чисел, допустим от 1 до 10... Если n=1, то 2^1/1=2; Если n=2, то (2^2)/(1*2)=1; Если n=3, то (2^3)/(1*2*3)=8/6=1,333...; Если n=4, то (2^4)/(1*2*3*4)=16/24=0,666...; Если n=5, то (2^5)/(1*2*3*4*5)=32/120=0,266...; и т.д, то есть видно что отношение явно стремится к нулю. Но это же интуитивный метод - или я не прав? Математика ведь, по идее, не терпит интуиции... Где теоремы, где формулы?

Если НЕОБХОДИМЫЙ признак сложно определить, то как быть в данной ситуации? Насчет ДОСТАТОЧНОСТИ - я понял. просто при чтении всех остальных теорем, нужно считать дополнительные условия ДОСТАТОЧНЫМИ, но никак не НЕОБХОДИМЫМИ...

Но как, допустим в данном случае, выйти на НЕОБХОДИМОЕ условие?...

0

RoniSakh, разберитесь уже, что Вам надо и чего Вы хотите.

0

Могу вместо 2 подставить 10, и даже больше (чтобы подсчитать "вручную" первые члены рядов), но как доказать, что при n=1000000^1000000 (не говоря уже о бесконечности), что функция f(x)=(x^n)/n! стремится к нулю, при n->"бесконечность"...

Добавлено через 10 минут

Сообщение от Igor RoniSakh, разберитесь уже, что Вам надо и чего Вы хотите.

Я то разобрался чего я хочу - ХОЧУ ВНЯТНОГО ответа на следующее "Если нет однозначного ответа на решение НЕОБХОДИМОГО условия сходимости рядов, то как быть в данной ситуации".

Точнее даже так: "Если нет однозначного ответа на решение НЕОБХОДИМОГО условия сходимости рядов, то как можно решить эту задачу иным способом".

Выше я привел ситуацию... Чисто по законам математики вроде не допускается такая формулировка, так типа "Видно, что путем подстановки первых n-членов, ряд стремится к нулю!".

0

Составьте отношение и проанализируйте

При фиксированном начиная с номера последовательность будет монотонно убывать и стабилизироваться к нулю, учитывая ограниченность снизу.

0

Сообщение от Igor Составьте отношение и проанализируйте При фиксированном начиная с номера последовательность будет монотонно убывать и стабилизироваться к нулю, учитывая ограниченность снизу.

Спасибо! Другую терминологию при доказательстве типа "последовательность будет монотонно убывать и стабилизироваться к нулю, учитывая ограниченность снизу" (через сравнение самой функции)- не знал, и не учел.

Спасибо еще раз Всем, кто ответил и кто прочел! Теперь все ясно. "Звиняюсь" - привычка иногда "сумлеваться";-)

0

Сообщение от RoniSakh Просто по этому необходимому признаку сложно определить, стремится ли ряд f(x)=(x^n)/n! к СХОДИМОСТИ исходя из общей теории сложно..

Сообщение от RoniSakh формулы

Формула Стирлинга:
, т.е. при достаточно больших n.
Поэтому:

и каким бы большим не был бы x, всегда найдётся такое n, что n>ex

0

Я из темы "вынес" самое главное - все теоремы, которые содержат какие либо дополнительные условия по поводу сходимости, определения радиуса и/или предела сходимости ЯВЛЯЮТСЯ исключительно достаточными, но не НЕОБХОДИМЫМИ - это для меня главное.

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от cmath Формула Стирлинга: , т.е. при достаточно больших n. Поэтому: и каким бы большим не был бы x, всегда найдётся такое n, что n>ex

Спасибо исчо раз! В любом случае займусь этой темой (это насчет формулы Стирлинга) - я жеж "дотошный";-)

1