Метод Эйлера для уравнения второго порядка

Jupiter · Регистрация: 26.03.2010

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте. Есть уравнение вида

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=f(y, y')$

которое необходимо решить методом Эйлера.
На ум приходит понижение порядка посредством замены и потом два раза применить Эйлера.
Замена:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x) = p(y(x)) = p(y) = p$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'' = p*p'$

подставляем и получаем уравнение

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p*p' = f(y,p)$

выражаем p' и можно применять Эйлера но по начальным условиям

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'({x}_{0}) = 0$

т.е. и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = 0$

В чем я ошибаюсь?

@Ev_Hyper · 04.10.2014, 17:13

Jupiter, сведите к задаче Коши

Jupiter · 04.10.2014, 17:26 **[ТС]**

Ev_Hyper, а можно подробнее?

@RefSol · 04.10.2014, 17:35

Попробуйте так:
заменяете конечными разностями и решаете:
y`` = (y[n-1]-2y[n]+y[n+1])/(h*h)
y` = (y[n]-y[n+1])/(h) или y` = (y[n+1]-y[n])/(h) или y` = ((y[n]-y[n+1])+(y[n+1]-y[n]))/(2*h)
Далее интегрируете, используя
y``= h*h*f(y, y`) где h = x[i] - x[i-1] ~ dx (лучше если dx=const)

@Том Ардер · 04.10.2014, 18:25

Jupiter, исходное уравнение второго порядка, должны быть два начальных условия, напр.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y({x}_{0})={y}_{0},\; y'({x}_{0})={y'}_{0}$

Преобразованное уравнение

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pp'=f(y,p)$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=p(y)$ ,

с начальным условием $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p({y}_{0})={y'}_{0}$ имеет форму Коши.

Другой вариант (проще для численных расчетов) - уравнение второго порядка преобразовать к системе двух уравнений первого порядка с начальными условиями, т.е. к форме Коши:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} y^'(x)=p(x), & y({x}_{0})={y}_{0}\\ {p}^{'}(x)= f(y(x),p(x)),& p({x}_{0})=f({y}_{0},{y'}_{0})\end{matrix}\right.$

Jupiter · 04.10.2014, 19:13 **[ТС]**

хм..возможно я не точно выразился ~~думал это и так ясно~~

да, я решаю задачу Коши, все как вы пишите:

Сообщение от Том Ардер

два начальных условия, напр.

Сообщение от Том Ардер

Преобразованное уравнение

но как к этому преобразованому уравнению применить Эйлера?
выразить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p'$ скажете вы и будете правы.
выразили
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p'=\frac{f(y,p)}{p}$
но одно из начальных условий $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'({x}_{0}) = p({y}_{0}) = 0$
и p не сокращается.

RefSol, по условию нужно именно Эйлером, да и уравнение "гунявое", "наитегрируешь" немного

@Ev_Hyper · 04.10.2014, 20:03

Jupiter, пример:
http://www.exponenta.ru/educat... x7.asp#ex3

@Том Ардер · 04.10.2014, 20:44

Сообщение от Jupiter

как к этому преобразованому уравнению применить Эйлера?

Искать не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(y)$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(p)$ из уравнения

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{'}(p)= \frac{p}{f(y,p)},\; y(0)={y}_{0}$

т.е. решение в параметрическом виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x(p), y(p))$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
BOINC: 22 года — и всё ещё работает Programma_Boinc 12.03.2026 BOINC: 22 года — и всё ещё работает Дэвид Андерсон написал ретроспективу. Кратко: в 2001 году он ушёл из United Devices, где был CTO, и за несколько месяцев написал ядро BOINC — клиент, сервер,. . .	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .
Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .

Jupiter Каратель 6610 / 4029 / 401 Регистрация: 26.03.2010 Сообщений: 9,273 Записей в блоге: 1

	Метод Эйлера для уравнения второго порядка 04.10.2014, 16:05. Показов 7784. Ответов 7 Метки метод эйлера (Все метки) Здравствуйте. Есть уравнение вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=f(y, y')$ которое необходимо решить методом Эйлера. На ум приходит понижение порядка посредством замены и потом два раза применить Эйлера. Замена: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x) = p(y(x)) = p(y) = p$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'' = pp'$ подставляем и получаем уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pp' = f(y,p)$ выражаем p' и можно применять Эйлера но по начальным условиям $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'({x}_{0}) = 0$ т.е. и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = 0$ В чем я ошибаюсь? 0

@Ev_Hyper Заблокирован
	04.10.2014, 17:13
	Jupiter, сведите к задаче Коши 0

Jupiter Каратель 6610 / 4029 / 401 Регистрация: 26.03.2010 Сообщений: 9,273 Записей в блоге: 1
	04.10.2014, 17:26 [ТС]
	Ev_Hyper, а можно подробнее? 0

@RefSol 504 / 247 / 75 Регистрация: 31.10.2010 Сообщений: 747
	04.10.2014, 17:35
	Попробуйте так: заменяете конечными разностями и решаете: y`` = (y[n-1]-2y[n]+y[n+1])/(hh) y` = (y[n]-y[n+1])/(h) или y` = (y[n+1]-y[n])/(h) или y` = ((y[n]-y[n+1])+(y[n+1]-y[n]))/(2h) Далее интегрируете, используя y``= hhf(y, y`) где h = x[i] - x[i-1] ~ dx (лучше если dx=const) 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.10.2014, 18:25
	Jupiter, исходное уравнение второго порядка, должны быть два начальных условия, напр. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y({x}_{0})={y}_{0},\; y'({x}_{0})={y'}_{0}$ Преобразованное уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pp'=f(y,p)$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=p(y)$ , с начальным условием $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p({y}_{0})={y'}_{0}$ имеет форму Коши. Другой вариант (проще для численных расчетов) - уравнение второго порядка преобразовать к системе двух уравнений первого порядка с начальными условиями, т.е. к форме Коши: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} y^'(x)=p(x), & y({x}_{0})={y}_{0}\\ {p}^{'}(x)= f(y(x),p(x)),& p({x}_{0})=f({y}_{0},{y'}_{0})\end{matrix}\right.$ 0

@Ev_Hyper Заблокирован
	04.10.2014, 20:03
	Сообщение было отмечено Jupiter как решение Решение Jupiter, пример: http://www.exponenta.ru/educat... x7.asp#ex3 1

Метод Эйлера для уравнения второго порядка

Решение