Метод Эйлера для уравнения второго порядка

Jupiter · Регистрация: 26.03.2010

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте. Есть уравнение вида

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=f(y, y')$

которое необходимо решить методом Эйлера.
На ум приходит понижение порядка посредством замены и потом два раза применить Эйлера.
Замена:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x) = p(y(x)) = p(y) = p$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'' = p*p'$

подставляем и получаем уравнение

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p*p' = f(y,p)$

выражаем p' и можно применять Эйлера но по начальным условиям

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'({x}_{0}) = 0$

т.е. и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = 0$

В чем я ошибаюсь?

@Ev_Hyper · 04.10.2014, 17:13

Jupiter, сведите к задаче Коши

Jupiter · 04.10.2014, 17:26 **[ТС]**

Ev_Hyper, а можно подробнее?

@RefSol · 04.10.2014, 17:35

Попробуйте так:
заменяете конечными разностями и решаете:
y`` = (y[n-1]-2y[n]+y[n+1])/(h*h)
y` = (y[n]-y[n+1])/(h) или y` = (y[n+1]-y[n])/(h) или y` = ((y[n]-y[n+1])+(y[n+1]-y[n]))/(2*h)
Далее интегрируете, используя
y``= h*h*f(y, y`) где h = x[i] - x[i-1] ~ dx (лучше если dx=const)

@Том Ардер · 04.10.2014, 18:25

Jupiter, исходное уравнение второго порядка, должны быть два начальных условия, напр.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y({x}_{0})={y}_{0},\; y'({x}_{0})={y'}_{0}$

Преобразованное уравнение

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pp'=f(y,p)$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=p(y)$ ,

с начальным условием $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p({y}_{0})={y'}_{0}$ имеет форму Коши.

Другой вариант (проще для численных расчетов) - уравнение второго порядка преобразовать к системе двух уравнений первого порядка с начальными условиями, т.е. к форме Коши:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} y^'(x)=p(x), & y({x}_{0})={y}_{0}\\ {p}^{'}(x)= f(y(x),p(x)),& p({x}_{0})=f({y}_{0},{y'}_{0})\end{matrix}\right.$

Jupiter · 04.10.2014, 19:13 **[ТС]**

хм..возможно я не точно выразился ~~думал это и так ясно~~

да, я решаю задачу Коши, все как вы пишите:

Сообщение от Том Ардер

два начальных условия, напр.

Сообщение от Том Ардер

Преобразованное уравнение

но как к этому преобразованому уравнению применить Эйлера?
выразить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p'$ скажете вы и будете правы.
выразили
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p'=\frac{f(y,p)}{p}$
но одно из начальных условий $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'({x}_{0}) = p({y}_{0}) = 0$
и p не сокращается.

RefSol, по условию нужно именно Эйлером, да и уравнение "гунявое", "наитегрируешь" немного

@Ev_Hyper · 04.10.2014, 20:03

Jupiter, пример:
http://www.exponenta.ru/educat... x7.asp#ex3

@Том Ардер · 04.10.2014, 20:44

Сообщение от Jupiter

как к этому преобразованому уравнению применить Эйлера?

Искать не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(y)$ , а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(p)$ из уравнения

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{'}(p)= \frac{p}{f(y,p)},\; y(0)={y}_{0}$

т.е. решение в параметрическом виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x(p), y(p))$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и напряжениями. Надо найти токи в ветвях. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и решает её. Последовательность действий:. . .
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .

Jupiter Каратель 6610 / 4029 / 401 Регистрация: 26.03.2010 Сообщений: 9,273 Записей в блоге: 1

	Метод Эйлера для уравнения второго порядка 04.10.2014, 16:05. Показов 7743. Ответов 7 Метки метод эйлера (Все метки) Здравствуйте. Есть уравнение вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=f(y, y')$ которое необходимо решить методом Эйлера. На ум приходит понижение порядка посредством замены и потом два раза применить Эйлера. Замена: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x) = p(y(x)) = p(y) = p$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'' = pp'$ подставляем и получаем уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pp' = f(y,p)$ выражаем p' и можно применять Эйлера но по начальным условиям $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'({x}_{0}) = 0$ т.е. и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p = 0$ В чем я ошибаюсь? 0

@Ev_Hyper Заблокирован
	04.10.2014, 17:13
	Jupiter, сведите к задаче Коши 0

Jupiter Каратель 6610 / 4029 / 401 Регистрация: 26.03.2010 Сообщений: 9,273 Записей в блоге: 1
	04.10.2014, 17:26 [ТС]
	Ev_Hyper, а можно подробнее? 0

@RefSol 504 / 247 / 75 Регистрация: 31.10.2010 Сообщений: 747
	04.10.2014, 17:35
	Попробуйте так: заменяете конечными разностями и решаете: y`` = (y[n-1]-2y[n]+y[n+1])/(hh) y` = (y[n]-y[n+1])/(h) или y` = (y[n+1]-y[n])/(h) или y` = ((y[n]-y[n+1])+(y[n+1]-y[n]))/(2h) Далее интегрируете, используя y``= hhf(y, y`) где h = x[i] - x[i-1] ~ dx (лучше если dx=const) 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	04.10.2014, 18:25
	Jupiter, исходное уравнение второго порядка, должны быть два начальных условия, напр. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y({x}_{0})={y}_{0},\; y'({x}_{0})={y'}_{0}$ Преобразованное уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pp'=f(y,p)$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=p(y)$ , с начальным условием $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p({y}_{0})={y'}_{0}$ имеет форму Коши. Другой вариант (проще для численных расчетов) - уравнение второго порядка преобразовать к системе двух уравнений первого порядка с начальными условиями, т.е. к форме Коши: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} y^'(x)=p(x), & y({x}_{0})={y}_{0}\\ {p}^{'}(x)= f(y(x),p(x)),& p({x}_{0})=f({y}_{0},{y'}_{0})\end{matrix}\right.$ 0

@Ev_Hyper Заблокирован
	04.10.2014, 20:03
	Сообщение было отмечено Jupiter как решение Решение Jupiter, пример: http://www.exponenta.ru/educat... x7.asp#ex3 1

Метод Эйлера для уравнения второго порядка

Решение