Необычная аппроксимация

@avizer123 · Регистрация: 03.12.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день, коллеги. Есть следующая задача:
существует набор точек (x, y). Пусть такой:
x y
1 0
2 -2
3 2

Нужно построить функцию y(x) = d / (a * x^2 + b * x + c) с такими параметрами a,b,c,d, чтобы функция оптимально проходила через заданные точки. Думаю метод МНК нужен.
Помогите создать алгоритм для этой цели. Количество точек может быть любое.

@mathmichel · 03.12.2016, 22:17

Трех точек явно недостаточно. Метод МНК (метод наименьших квадратов Гаусса) многократно здесь обсуждался и повторяться нет никакого смысла. В математических пакетах типа Mathcad есть готовые функции

@Таланов · 04.12.2016, 05:54

Сообщение от avizer123

Нужно построить функцию y(x) = d / (a * x^2 + b * x + c)

Сделайте замену z=1/y.

@avizer123 · 04.12.2016, 07:21 **[ТС]**

Возможно, я не так сформулировал. Нужно, чтобы при каждом новом наборе точек вычислялись коэффициенты a,b,c,d и строилась новая функция. Т.е. таблица (x, y) не статична.

@Таланов · 04.12.2016, 08:11

Всё равно сделайте замену и оптимизируйте невязку.

@avizer123 · 04.12.2016, 08:16 **[ТС]**

Т.е. я получаю z = (a* x^2 + b * x + c) / d
Затем ищу частные производные для всех коэффициентов.
Затем решаю систему, приравнивая все производные нулю.
Получаю коэффициенты для заданного набора точек.
Делаю обратную замену.
Всё верно?

@Таланов · 04.12.2016, 08:23

Всё так, только коэффициент d здесь лишний.

@avizer123 · 04.12.2016, 08:33 **[ТС]**

Т.е. сделать ещё 3 замены, чтобы получилось так: a/d * x^2 + b/d * x + c/d => a1*x^2+b1*x+c1 ?

@Таланов · 04.12.2016, 08:49

Ну, да.

@avizer123 · 04.12.2016, 10:17 **[ТС]**

Что-то не до конца понимаю, как теперь найти коэффициент d. Я нашел те, на которые заменил: a1, b1, c1. А как теперь перейти к a,b,c,d? И меняя d я меняю a,b,c т.к. они все связаны. Как быть?
Получил вот так: 1 / y = a1 * d * x^2 + b1 * d * x + c1 * d
a1, b1, c1 известны.

@Таланов · 04.12.2016, 10:44

Сообщение от avizer123

И меняя d я меняю a,b,c т.к. они все связаны. Как быть?

Никак, он лишний. Пусть это будет маштабирующим коэффициентом.

@avizer123 · 04.12.2016, 10:52 **[ТС]**

Хорошо и последний вопрос

Как его подбирать автоматически? Должны же быть какие-то критерии. Я просто пишу программу на C# и мне нужно его как-нибудь подбирать, чтобы строить график максимально точно по заданным точкам.

@mathmichel · 04.12.2016, 11:31

Параметр d не будет лишним, если наложить условие оптимальности, при этом в отличие от МНК требуется, чтобы график проходил через заданные три точки. Ваша аппроксимирующая функция имеет неприятную особенность - её знаменатель может обращаться в ноль. С Вашими исходными данными так и происходит и дополнительный масштабирующий параметр d ничего сделать с этим не может. Я так понимаю, что Вы хотите, чтобы был перевернутый колокол? Тогда надо добавить пятый параметр е. Подробности с реализацией в Mathcad ниже

@avizer123 · 04.12.2016, 12:04 **[ТС]**

Сообщение от mathidiot

Параметр d не будет лишним, если наложить условие оптимальности, при этом в отличие от МНК требуется, чтобы график проходил через заданные три точки. Ваша аппроксимирующая функция имеет неприятную особенность - её знаменатель может обращаться в ноль. С Вашими исходными данными так и происходит и дополнительный масштабирующий параметр d ничего сделать с этим не может. Я так понимаю, что Вы хотите, чтобы был перевернутый колокол? Тогда надо добавить пятый параметр е. Подробности с реализацией в Mathcad ниже

Спасибо за новый взгляд. Точек может быть сколько угодно, хоть 2, хоть 10. Мне важно только чтобы график оптимально проходил через заданные точки и функция имела заданный вид, а перевернутый колокол или нет не важно.
То есть МНК в данной ситуации не подойдет?

@Таланов · 04.12.2016, 12:15

Точек должно быть не меньше трёх.

@mathmichel · 04.12.2016, 14:22

В рамках метода МНК обычно задается большое число точек и небольшое число параметров, поэтому аппроксимирующая функция обычно не проходит через заданные точки (это требование вообще отсутствует), т.е. находится относительно их на оптимальном удалении (как бы посередине). У Вас в первоначальном посте было все наоборот - минимальное число точек, число параметров больше их числа и требование обязательного прохождения через заданные точки

@Excalibur921 · 08.12.2016, 23:03

avizer123,Зачем вам вообще аппроксимация? Возьмите например интерполяционный полином Лагранжа. Точки в формулу и X и получите f(x) на функции просто, универсально, быстро. Хоть 100 точек таблица. Сначала найти между какими точками вы спрашиваете f(x) и однотипная формула. Аппроксимация тут утонет в расчетах. Значение в большой таблице можно усреднить например по 3 соседним точкам.

@avizer123 · 14.12.2016, 11:52 **[ТС]**

Сообщение от Excalibur921

avizer123,Зачем вам вообще аппроксимация? Возьмите например интерполяционный полином Лагранжа. Точки в формулу и X и получите f(x) на функции просто, универсально, быстро. Хоть 100 точек таблица. Сначала найти между какими точками вы спрашиваете f(x) и однотипная формула. Аппроксимация тут утонет в расчетах. Значение в большой таблице можно усреднить например по 3 соседним точкам.

Мне нравится Ваш вариант. Можно подробнее? И хорошо бы с примером.

Добавлено через 3 часа 58 минут

Сообщение от avizer123

Мне нравится Ваш вариант. Можно подробнее? И хорошо бы с примером.

Точнее как считать понятно. Не понятно только, как функцию в итоге получить в виде y(x) = d / (a * x^2 + b * x + c)

@Excalibur921 · 14.12.2016, 12:00

Это отказ от вашей функции. Изначальная задача : найти универсальную простую формулу которая проходит через любое количество точек приближенно. Это вроде халтурной аппроксимации через интерполяцию.

@avizer123 · 14.12.2016, 12:08 **[ТС]**

Сообщение от Excalibur921

Это отказ от вашей функции. Изначальная задача : найти универсальную простую формулу которая проходит через любое количество точек приближенно. Это вроде халтурной аппроксимации через интерполяцию.

Тогда этот вариант не подходит. Мне нужна конкретно моя функция.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .
Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.

@avizer123 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.12.2016 Сообщений: 11

	Необычная аппроксимация 03.12.2016, 16:52. Показов 1668. Ответов 25 Метки нет (Все метки) Добрый день, коллеги. Есть следующая задача: существует набор точек (x, y). Пусть такой: x y 1 0 2 -2 3 2 Нужно построить функцию y(x) = d / (a * x^2 + b * x + c) с такими параметрами a,b,c,d, чтобы функция оптимально проходила через заданные точки. Думаю метод МНК нужен. Помогите создать алгоритм для этой цели. Количество точек может быть любое. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11074 / 7375 / 3990 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,811
	03.12.2016, 22:17
	Трех точек явно недостаточно. Метод МНК (метод наименьших квадратов Гаусса) многократно здесь обсуждался и повторяться нет никакого смысла. В математических пакетах типа Mathcad есть готовые функции 0

@avizer123 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.12.2016 Сообщений: 11
	04.12.2016, 07:21 [ТС]
	Возможно, я не так сформулировал. Нужно, чтобы при каждом новом наборе точек вычислялись коэффициенты a,b,c,d и строилась новая функция. Т.е. таблица (x, y) не статична. 0

@Таланов 1965 / 1073 / 163 Регистрация: 06.12.2012 Сообщений: 4,695
	04.12.2016, 08:11
	Всё равно сделайте замену и оптимизируйте невязку. 0

@avizer123 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.12.2016 Сообщений: 11
	04.12.2016, 08:16 [ТС]
	Т.е. я получаю z = (a* x^2 + b * x + c) / d Затем ищу частные производные для всех коэффициентов. Затем решаю систему, приравнивая все производные нулю. Получаю коэффициенты для заданного набора точек. Делаю обратную замену. Всё верно? 0

@Таланов 1965 / 1073 / 163 Регистрация: 06.12.2012 Сообщений: 4,695
	04.12.2016, 08:23
	Всё так, только коэффициент d здесь лишний. 0

@avizer123 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.12.2016 Сообщений: 11
	04.12.2016, 08:33 [ТС]
	Т.е. сделать ещё 3 замены, чтобы получилось так: a/d * x^2 + b/d * x + c/d => a1x^2+b1x+c1 ? 0

@Таланов 1965 / 1073 / 163 Регистрация: 06.12.2012 Сообщений: 4,695
	04.12.2016, 08:49
	Ну, да. 0

@avizer123 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.12.2016 Сообщений: 11
	04.12.2016, 10:17 [ТС]
	Что-то не до конца понимаю, как теперь найти коэффициент d. Я нашел те, на которые заменил: a1, b1, c1. А как теперь перейти к a,b,c,d? И меняя d я меняю a,b,c т.к. они все связаны. Как быть? Получил вот так: 1 / y = a1 * d * x^2 + b1 * d * x + c1 * d a1, b1, c1 известны. 0

@avizer123 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.12.2016 Сообщений: 11
	04.12.2016, 10:52 [ТС]
	Хорошо и последний вопрос Как его подбирать автоматически? Должны же быть какие-то критерии. Я просто пишу программу на C# и мне нужно его как-нибудь подбирать, чтобы строить график максимально точно по заданным точкам. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11074 / 7375 / 3990 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,811
	04.12.2016, 11:31
	Параметр d не будет лишним, если наложить условие оптимальности, при этом в отличие от МНК требуется, чтобы график проходил через заданные три точки. Ваша аппроксимирующая функция имеет неприятную особенность - её знаменатель может обращаться в ноль. С Вашими исходными данными так и происходит и дополнительный масштабирующий параметр d ничего сделать с этим не может. Я так понимаю, что Вы хотите, чтобы был перевернутый колокол? Тогда надо добавить пятый параметр е. Подробности с реализацией в Mathcad ниже Миниатюры 0

@Таланов 1965 / 1073 / 163 Регистрация: 06.12.2012 Сообщений: 4,695
	04.12.2016, 12:15
	Точек должно быть не меньше трёх. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11074 / 7375 / 3990 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,811
	04.12.2016, 14:22
	В рамках метода МНК обычно задается большое число точек и небольшое число параметров, поэтому аппроксимирующая функция обычно не проходит через заданные точки (это требование вообще отсутствует), т.е. находится относительно их на оптимальном удалении (как бы посередине). У Вас в первоначальном посте было все наоборот - минимальное число точек, число параметров больше их числа и требование обязательного прохождения через заданные точки 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	08.12.2016, 23:03
	avizer123,Зачем вам вообще аппроксимация? Возьмите например интерполяционный полином Лагранжа. Точки в формулу и X и получите f(x) на функции просто, универсально, быстро. Хоть 100 точек таблица. Сначала найти между какими точками вы спрашиваете f(x) и однотипная формула. Аппроксимация тут утонет в расчетах. Значение в большой таблице можно усреднить например по 3 соседним точкам. 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	14.12.2016, 12:00
	Это отказ от вашей функции. Изначальная задача : найти универсальную простую формулу которая проходит через любое количество точек приближенно. Это вроде халтурной аппроксимации через интерполяцию. 0