Закон делимости.
Число 2n+1 делится на 2a+1, если существует число m , для которого выполняется равенство n=a*(2m+1)+m

Полезные тождества.
N=a*2*m N-a*2*m=0
N=a*(2*m+1) N-a*2*m=a, при этом частное от деления
N на a равно 2*m+1.
Простой пример.
Проверка делимости нечетного числа,например 21, на 7.
21-7*2*1=7 Частное равно 2*1+1=3

Число 2n+1 делится на нечетное число a, если n=a*m+(a-1)/2.
Частное от деления при этом равно 2*m+1.
Простой пример.
N=21 n=10=7*1+3 Частное=2*1+1=3 N=21=7*3

Делимость нечетных чисел.
Взгляд с другой стороны.
Число 2n+1 делится на нечетное число
a, если n-am=(a-1)/2, при этом частное равно 2m+1.
Пример: Число 2n+1 делится на 7, если n-7m=3.
Число 2n+1 делится на 11, если n-11m=5.
И т.д.

Никто не обратил внимания на одно полезное тождество:
(10*А+а)*(10*B+b)=100*A*B+10(A*b+B*a)+a* b.
Тогда как, из него можно получить все желаемые признаки делимости, задавая значения A,B,a,b.

Генератор простых чисел состоит из:
-схемы пуска-останова;
-двух одинаковых генераторов последовательности импульсов с интервалами равными последовательности нечетных чисел;
-схемы совпадения импульсов от обоих генераторов. выход которой поступает на счетчик...

Простые числа это исключение из правила:
-Нечетное число делится на нечетное число,когда оно равно сумме последовательных нечетных чисел, причем количество слагаемых равно кратности числа.
Простое число имеет только одно слагаемое равное самому числу,
Простой пример:
9=1+3+5
15=3+5+7
Не знаю можно ли и как использовать это правило,

Известное правило:
Нечетное число N делится на нечетное число C, если оно
N=C*(C+2*n)=C*C+2*C*n
Это равенство может быть дополнено да квадрата числа
C+n, если к нему прибавить квадрат числа n.
В этом случае число N может быть представлено в виде разности квадратов чисел C+n и n.
К тому следует добавить, что простое число может быть единственным образом представлено в виде разности квадратов чисел (N+1)/2 и (N-1)/2.

Кому подарить идею
прибора для поиска простых чисел.
Прибор постой и состоит из двух одинаковых генераторов последовательности импульсов, интервалы межу которыми равны последовательности нечетных чисел: 1,3,5.7............ 2n+1
На входе одного из генераторов стоит счетчик...

Простая проверка делимости на 7.
(N+3n)/10=n.
При этом:
-для N*10+1 n=m*10+3 (3*3=9)
-для N*10+3 n=m*10+9 (3*9=27)
-для N*10+7 n=m*10+1 *3*1=3)
-для N*10+9 n=m*10+7 (3*7=21)

И далее таблица умножения нечетных чисел
A1 A3 A7 A9
B1 N1
B3 N3 N9
B7 N7 N1 N9
B9 N9 N7 N3 N1
Эта таблица может быть использована...

Проверка делимости (один из вариантов).
Делитель Проверка Примеры
3 N-n =2n 9-3 =2*3 n=3
7 N-4n=3n 21-3*4=3*3 n=3
D*10+1 (N- n)/10=D*n (33-3)/10 =3=1*3 (D=1 n=3)
D*10+3 (N-3*n)/10=D*n (39-3*3)/10=3=1*3 (D=1 n=3)
D*10+7 (N-7*n)/10=D*n...

Три тождества:
N=a*b=
(a+b)/2 в квадрате-(a-b)/2 в квадрате=
((a+b)/2-(a-b)/2)*((a+b)/2+(a+b)/2)).
Доказательство:
((a+b)/2-(a-b)/2))*((a+b)/2+(a+b)/2))=
(a+b)/2 в квадрате-(a-b)/2 в квадрате=
1/4 ((a в квадрате+2a*b+ b в квадрате-a в квадрате+2a*b-
b в квадрате)=1/4(4*a**b=a*b.

Уравнение двух неизвестных x и y :
n=2P +S, гдеt P=x*y и S= x+y дает все возможные разложения нечетных чисел на два нечетных сомножителя.
Уравнение симметрично относительно неизвестных x и y и, поэтому. его решения могут быть представлены в виде равностороннего треугольника....

Число 2 n+1= 2(n-m)+ (2m+1).
Следствие: число 2n+1 делится на 2m+1.
если (n-m)= k*(2m+1).
В этом случае частное от деления равно 2k+1. .

Нечетное число A делится на нечетное число B, если;
(A-B)/2=С и при разложении С на простые сомножители есть среди них есть сомножитель равный A.
Все.
Глупость конечно.

Очевидные признаки делимости числа N на 7:
N-6n=n
N-5n=2n
N-4n=3n.
Кому какой понравится.

Расширение таблицы умножения.
N1=A1*B1, A3*B7,A9*B9
N3=A1*B3, A7*B9
N7=A1*B7, A3*B9
N9=A1*B9, A3*B3,A7*B7
Простые числа могут по определению относится только
к первой колонке.
Приведу пример возможного ее применения.
Предположим, мы хотим проверить делимость числа 133 на 7.
...

Вспомнил старое.
Число N делится на А*10+1, если существует число n для которого выполняется равенство
N-10*A* n =n
Пример A=1 11*13=143
143-10*13=13 n-13
Число N делится на А*10+9, если существует число n для которого выполняется равенство
10*(А+1)-N =n
Пример A=1 19*13=247
10*2*13-247=13...

Алгоритм проверки простых чисел.
Алгоритм основан на использовании функций
П=x*y и С=x+y.
IШаг 1. Вычисляем n=(N-1):2.
Шаг 2. Из условия 2 П меньше n получаем последовательность допустимых значений П.
Шаг 3. Из полученной последовательности исключаем простые числа,...

Число в периоде бесконечной десятичной дроби делится на 9 и есть тому объяснение,
хотя есть и исключения из этого правила.
Бесконечная десятичная дробь получается в результате деления единицы на натуральное число
и их появление относится к недостаткам десятичной системы счисления.

Универсальный признак делимости нечетных чисел.
Если П=x*y и С=x+y, то нечетное число
N=2 (2П+С)+1 делится на 2x+1 и на 2y+1.
Для чисел, кратных 3, x=1.
Для чисел, кратных 7, x=3 и так далее.

Опять о функциях П и С.
П=-x*y C=x+y
Нечетное число
N=2*n+1=(2*x+1)*(2*y+1)
Откуда следует n=2x*y +(x+y) или n=2П+С.
Задавая значения С и ,разлагая их на слагаемые, получим значения 2*П и,соответственно,
все значения n разлагаемых нечетных чисел для выбранного С.
Приведу несколько...

Законы четности:
2n+2m= 2(n+m)
2n-2m= 2(n-m)
2n+1+2m+1+1=2(n+m+1)
2n+1-(2m+1)+1=2(n-m)
2n+1+2m=2(n+m)+1
2n+1-2m=2(n-m)+1
2n*2m=4n*m
(2n+1)*((2m+1)=2(2n*m+n+m)+1
(2n+1)*((2m)=2(2n*m+m)
Вопрос четности при делении несколько сложнее,так как существует два типа четных чисел:
-четно-четные
-четно-нечетные....

Системы уравнений для разложения на сомножители нечетных чисел.
Решения системы двух уравнений
n-a=b*x
4a+1=b*y
дадут разложение на сомножители чисел вида 4n+1.
Решения системы двух уравнений
n-a=b*x
4a-1=b*y
дадут разложение на сомножители чисел вида 4n-1....

Две последовательности нечетных чисел.
Последовательность нечетных чисел с общим членом 2n+1 распадается на две последовательности;;
- с общим членом 4n+1; 1,5, 9, 13 и т.д. +4
- с общим членом 4n-1; 3,7,11,15 и т.д. +4
Члены первой последовательности могут быть представлены...

Любое натуральное число может быть представлено в виде суммы N=m*X*X+остаток.
Остаток равен N-m*X*X
(Для простых чисел (X=1 m=N остаток =0).
Тогда для проверки делимости числа N на X можно проверить только делимость остатка N-m*X*X и
он должен быть равен a*X.
Таким образом,...

N=(10X+1)*(10Y+1)=10*(10 XY + X+Y) +1
N=(10X+3)*(10Y+7)=10*(10 XY + 7X+3Y) +21
N=(10X+9)*(10Y+9)=10*(10 XY + 9X+9Y) +81

N=(10X+1)*(10Y+3)=10*(10 XY +3 X+Y) +3
N=(10X+7)*(10Y+9)=10*(10 XY + 9X+7Y) +63

N=(10X+1)*(10Y+7)=10*(10 XY + 7X+Y) +7
N=(10X+3)*(10Y+9)=10*(10 XY + 9X+3Y) +27

N=(10X+1)*(10Y+9)=10*(10 XY +9X+Y) +9
N=(10X+3)*(10Y+3)=10*(10 XY + 3X+3Y) +9
N=(10X+7)*(10Y+7)=10*(10 XY + 7X+7Y) +49

Первый признак делимости нечетных чисел.
(N- X в квадрате)/2 = n*X

Свел все ранее сказанное к одной форме Ф.
Определим функции:
С=А+В и П=10*А*В.
Определим форму Ф=П+к1*С+к2*А+к3
Тогда число N= 10*Ф+а (а является окончанием числа и для нечетных чисел оно равно 1,3,5,7,9.
Коэффициенты к1,к2,к3 зависят от возможного выбора сомножителей для...

В это раз заслуженной критики будет много.
Речь пойдет об арифметике этих величин ББ т БМ..
БМ+ББ=ББ
ББ-БМ=ББ
ББ*БМ=БМ
ББ:ББ=? -результат зависит от величины ББ
БМ:БМ=? -результат зависит от величины ББ
БМ:ББ=БМ
ББ:БМ=ББ
ББ:ББ=? -результат зависит от величины ББ
БМ:БМ=? -результат зависит от величины БМ

Шутка, конечно.