Пусть N=N2N1N0, где N2- число сотен, N1- число десятков и N0- число единиц. Тогда число N делится на 7, если на 7 делится
сумма N2*2 + N3*3 + (MN1), при этом М 9=2, М 8=1, М 7=0, для остальных чисел М равно самому числу.
Пример N=9499. 94*2=188, 9*3= 27, M9=2, сумма=217 и она делится на 7, значит число 9499 делится на 7.
Конечно, это не бог весть какая премудрость.

Пример

Передатчик: (1.2.3.4.5.6.7...) - Приемник 1 : (1,2) = 1
Приемник 2 : (1,3) = 2
Приемник 3 : 1,4) = 3
и т.д.
Учитывая свойства комбинаторики, такую связь...

Арифмометр Феликс. Думать не надо. Крутишь ручку в одну строну, она складывает и умножает, крутишь в другую, она вычитает и делит. Никаких проблем с электропитанием. Впрочем это лирическое отступление.
Хочу предложить вам нечто похожее, а именно линейку для разложения нечетных...

N= a*b= x кв. - y кв =(x-y)*(x+y), имеем систему двух уравнений x-y=a и x+y = b
решениями которой будут x=(b+a)/2 y=(b-a)/2. Для a=1 b=N x=(N+1)/2 y=(N-1)/2.

Теорема Пифагора с кв. = а кв. + в кв - 2 а*в * cos A при A=180 град
превращается в уравнение делимости с кв. = а кв. + в кв + 2 а*в
где N1 = в кв + 2 а*в = в*(в+2а) или N2=а кв + 2 а*в=а*(а+2в)

Уравнение X*X+Y*Y=Z*Z сводится к уравнению X*X=Z*Z-Y*Y= (Z-Y)(Z+Y),
которое имеет решения X=a*b Y=a*(b*b-1)/2 Z=a*(b*b11)/2.
Всего один пример X=1*3 Y= 1*(9-1)/2=4 Z=1*(9+1)/2=5

Уравнение X в кв. + Y в кв. = Z в кв. можно свести к уравнению X в кв. + ( X+a) в кв. = (X+b) в кв. ( b больше a),
которое имеет решение:
Х= D+(b-a), где D корень квадратный из 2 b(b-a).
Y= D+ b.
Z= D+ (2b-a).

Примеры: a=1 b=2...

Признаки делимости

N1 на A3 N"- 7A делится на A3
N3 на A3 N"- A делится на A3
N7 на A3 N"- 2- 9A делится на A3
N9 на A3 N"- 3A делится на A3

N1 на A7 N"- 2 -3A делится на A7
N3 на A7 N"- 6 - 9A делится на A7
N7 на A7 N"- A делится на A7
N9 на A7 N"-...

N3 N"- 3A делится на A1
N7 N"- 7A делится на A1
N9 N"- 9A делится на A1

Признак делимости числа N1 на число A1.
Число N1 делится на число A1, если число N"-A делится на A1, где N"=(N-1)/10.

Один пример.

Число N=52281=111*471, N"=5228 (5228-11)/111=47 и (5228-47)471=11

Тождества для проверки делимости нечетных чисел.
Я нашел пока их четыре.
N=a*(a+2b)= a*a +2ab =(a+b)*(a+b) -b*b
и последнее n"= (a"+ b")+2a"*b"
N=2n"+1, b=2b"+1, a=2a"+1
Какое из них для вычислений лучшее не знаю,

Нечетные числа 2n+1 можно в зависимости от того: является ли n четным или нечетным числом, на два класса, каждый из
которых имеет свои законы (таблицы умножения).
В свою очередь для четных n можно также построить две таблицы.

Хорошее уравнение делимости нечетных чисел:
Z-S=2M, где: Z = (N-1)/2, S=X+Y, M=X*Y.
Уравнение хорошо тем, что S должно в нем иметь такую же четность что и проверяемое число Z,
чтобы их разность Z-S была четной.
Для четного Z S должно быть четным, следовательно Х и...

Для проверки делимости числа N необходимо:
- вычислить ближайший к этому числу квадрат;
- найти разность между этим квадратом и проверяемым числом;
- извлечь квадратный корень из полученной разности.
Если эта разность является квадратом, то проверяемое число делится, в противном случае нет.

Числа 6n-1 и 6n+1.
Они замечательны тем, что среди них нет чисел, кратных 3.
Для них можно построить простую таблицу делимости.

Делители Число N- =6n-1 Число N+= 6n+1

A- = 6а -1 n -a n+a кратны A-
A+= 6a+1 n+a n -a кратны A+...

Симметрии в квадрате Венеры (7*7).
Подобные симметрии имеют все нечетные магические квадраты.
Приведу "нулевой" вариант такого квадрата.
Сам квадрат можно получить, поставив вместо 0 число 25.
Итак "нулевой" квадрат 7*7:

-3 +22 -9 +16 -15 +10 -21...

Квадрат Солнца

6/32 3/34 35/1
7/11 27/28 8/30
19/34 16/25 23/24
18/20 22/21 17/13
25/29 10/9 26/12
36/5 33/4 2/31

Пасьянс (Чертов квадрат 4Х4) из восьми карт за восемь ходов. Условием пасьянса является: сумма по строкам ,столбцам и
диагоналям должна быть равна 34.
В наличии 8 карт : 1/8, 2/7, 3/6, 4/5, 9/16,10/15,11/14/12/13.
Итак начинаем.
Ходы 1,2 1/8,14/11
...

Для облегчения задачи полезно разделить нечетные числа в зависимости от их окончаний 1,3,5,7,9 на пять групп:
N1=10n+1, N1=10n+3, N1=10n+5, N1=10n+7, N1=10n+9.
Каждая группа при этом имеет свои законы умножения и соответствующие им правила для вычисления n.
N1=A1*B1,A3*B7,A9*B9,
N3=A1*B3,A7*B9,
...

Если n=2x+y, а x=a*m и y= a+m, то (2n+1)=(2a+1)*(2m+1),в частности, при a=1 2n+1=3*(2m+1)

Дополнения к закону делимости.
Закон делимости
ON-OX=XOY
Y=2OY+1
XOY меньше или равно ON-OX
Из закона сохранения четности OY должно быть четным при одинаковой четности ON и OX и нечетным при их разной четности.
Теперь мы знаем достаточно много для определения OY.

Оператор О для нечетных чисел определим следующим образом:
О (X)= (X-1)/2.
С его помощью можно записать простое уравнение делимости для нечетных чисел:
О(N)-О(M)=k*M.
При последовательном применении этого уравнения мы в случае положительной делимости,естественно, должны получить число M.
Оператор О имеет много интересных свойств.
Одно из них О(X*Y)= 2*ОX*ОY+ ОX+ОY и много других,которые могут быть полезными при анализе целых чисел.

Как без деления измерить нечетное число?
Для этого нужны две линейки.
На первой отложены все последовательные нечетные числа от 1 до N-2,
на второй все последовательные числа от 1 до (N-1)/2.
Если теперь совместить начало второй линейки 1 с концом N-2 первой линейки, то совпадение чисел на обоих линейках даст
нам старший сомножитель числа N.

Как без деления измерить нечетное число?
Для этого нужны две линейки.
На первой отложены все нечетные числа от 1 до N-2, на второй все числа от 1 до (N-1)/2j.
Если теперь совместить начало 1 второй линейки с концом N-2 второй линейки, то совпадение чисел
на обоих линейках даст нам старший сомножитель числа N.

Простой прибор для проверки делимости числа N на число 2n+1 состоит из:
-задающего генератора;
-генератора импульсов с частотой равной 2n+1;
-генератора одиночного импульса, задержанного на N;
-схемы совпадения импульсов от обоих генераторов.
Фактически прибор...

Минимальные квадраты -это квадраты заполненные последовательными числами от 1 до n в квадрате.
При "правильном" их расположении в ячейках квадрата это расположение должно удовлетворять условиям равенства сумм по строкам, столбцам и диагоналям и тогда квадрат становится...

На трех простых примерах покажу,как можно использовать этот метод счисления остатков при заполнении магических квадратов.
Квадрат 3х3 с суммами по строкам,столбцам и диагоналям равными 15.
15:3=5. Остаток равен 0,следовательно и остаток сумм чисел также должен быть равен...

Чертов магический квадрат.
Так называется квадрат 4х4:

7 12 1 14 х1 х2 х3 х4

2 13 8 11 х5 х6 х7 х8

16 3 10 5 х9 х10 х11 х12

9 6 15 4. х13 х14 х15 х16
Сумма чисел...

Рабочая гипотеза.

Если E(m+n) = A(n) B(n)
C(m)D(m)
то
определитель E(n+m) =
определитель A(n) * определитель D(m)
- определитель B(n) * определитель C(m)
где A B C D E матрицы ,а n и m их размерности

Напишите уважаемые мной сисадники хотя бы программу вычисления определителей n-го порядка.
Трудно вам будет и польза нам будет.
Дело в том,что мы куры имеем дело в основном с системами линейных уравнений.
На большее мы и не претендуем.
Для решения этих наших линейных задач очень пригодились бы ваши навыки в области автоматизации расчетов.
А пока получается,что ни расчет то другой результат.
Надо положить этому конец.