Найти предел, избавившись от неопределённости

@WarmSoftFur · Регистрация: 15.10.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \rightarrow \infty } {({x}^{3}+4)}^{1/3}- {({x}^{5}-5)}^{1/5}$
Понимаю, что нужно домножать на какие либо выражения чтобы получать формулы, но у меня из этой затеи ничего путного не вышло

@palva · 12.12.2018, 01:32

Надо домножить и разделить на неполную пятнадцатую степень суммы выражений в скобках. Если у вас достаточно терпения и бумаги, то всё должно получиться. Но можно немного сэкономить, если ввести следующие обозначения:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\frac{(x^3+4)^{1/3}}{x},\quad v=\frac{(x^5-5)^{1/5}}{x},\quad \lim u=\lim v=1.$

Тогда ваш предел будет равен

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\lim x(u-v)=\lim\frac{x(u-v)(u^{14}+u^{13}v+\ldots)}{u^{14}+u^{13}v+\ldots}=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\lim\frac{x(u^{15}-v^{15})}{15}=\lim\frac{(x^3+4)^{5}-(x^5-5)^{3}}{15x^{14}}=\lim\frac{(x^{15}+5x^{12}\cdot4+\ldots)-(x^{15}-3x^{10}\cdot5+\ldots)}{15x^{14}}.$

Пятнадцатые степени сократятся, а оставшиеся степени все меньше четырнадцати, так что у меня получилось 0.

Могу ошибаться. Проверяйте.

@jogano · 12.12.2018, 01:40

Сообщение от palva

Надо домножить и разделить на неполную пятнадцатую степень суммы выражений в скобках.

А если бы пример выглядел так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \to +\infty}\left(\left(x^n+a \right)^{\frac{1}{n}}-\left(x^m+b \right)^{\frac{1}{m}} \right), \: a,b \in R, \: m,n \in N$ ?
Ответ таки 0, причём в вышенаписанном общем виде.

@palva · 12.12.2018, 04:28

Сообщение от palva

Надо домножить и разделить на неполную пятнадцатую степень

Здесь я ошибся. Надо "на неполную четырнадцатую степень". Далее я так и делаю.

Сообщение от jogano

А если бы пример выглядел так

Можно опять вынести x и по формуле Тейлора, если ТС это изучал. Но он хотел домножением.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim x\left[\left(1+\frac{a}{x^n}\right)^{1/n}-\left(1+\frac{b}{x^m}\right)^{1/m}\right]=\lim x\left[\left(1+\frac{a}{nx^n}+o\left(\frac{a}{x^n}\right)\right)-\left(1+\frac{b}{mx^m}+o\left(\frac{a}{x^m}\right)\right]=\ldots$

Добавлено через 5 минут
А если домножением, то искать НОК чисел n и m и домножать на неполную степень НОК-1.

@jogano · 12.12.2018, 04:39

Сообщение от palva

Можно опять вынести x и по формуле Тейлора, если ТС это изучал. Но он хотел домножением.

Можно, хотя тема пределов проходится раньше производных, а значит и ряда Тейлора тем более.
Но 3-й замечательный предел он явно проходил. Я делал так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x^n+a \right)^{\frac{1}{n}}-\left(x^m+b \right)^{\frac{1}{m}}=x\left(\left(1+\frac{a}{x^n} \right)^{\frac{1}{n}}-\left(1+\frac{b}{x^m} \right)^{\frac{1}{m}} \right)=\frac{a}{x^{n-1}}\frac{\left(1+\frac{a}{x^n} \right)^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{a}{x^n}}-\frac{b}{x^{m-1}}\frac{\left(1+\frac{b}{x^m} \right)^{\frac{1}{m}}-1}{\frac{b}{x^m}} \to 0 \cdot \frac{1}{n}-0 \cdot \frac {1}{m}=0 ,\: x \to +\infty$

@palva · 12.12.2018, 05:58

Добавить и отнять тоже хорошая идея. Ее можно применить сразу к исходному примеру, чтобы при домножении на сопряженные не иметь дело с 15-й степенью.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\sqrt[3]{x^3+4}-\sqrt[3]{x^3})-(\sqrt[5]{x^5-5}-\sqrt[5]{x^5})$

Теперь можно находить предел каждой скобки. Домножением или замечательным пределом.

@WarmSoftFur 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.10.2018 Сообщений: 12
		1
	Найти предел, избавившись от неопределённости 11.12.2018, 23:57. Показов 967. Ответов 5 Метки предел (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \rightarrow \infty } {({x}^{3}+4)}^{1/3}- {({x}^{5}-5)}^{1/5}$ Понимаю, что нужно домножать на какие либо выражения чтобы получать формулы, но у меня из этой затеи ничего путного не вышло 0

@palva 4241 / 2938 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2018, 01:32	2
	Надо домножить и разделить на неполную пятнадцатую степень суммы выражений в скобках. Если у вас достаточно терпения и бумаги, то всё должно получиться. Но можно немного сэкономить, если ввести следующие обозначения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\frac{(x^3+4)^{1/3}}{x},\quad v=\frac{(x^5-5)^{1/5}}{x},\quad \lim u=\lim v=1.$ Тогда ваш предел будет равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\lim x(u-v)=\lim\frac{x(u-v)(u^{14}+u^{13}v+\ldots)}{u^{14}+u^{13}v+\ldots}=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\lim\frac{x(u^{15}-v^{15})}{15}=\lim\frac{(x^3+4)^{5}-(x^5-5)^{3}}{15x^{14}}=\lim\frac{(x^{15}+5x^{12}\cdot4+\ldots)-(x^{15}-3x^{10}\cdot5+\ldots)}{15x^{14}}.$ Пятнадцатые степени сократятся, а оставшиеся степени все меньше четырнадцати, так что у меня получилось 0. Могу ошибаться. Проверяйте. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	12.12.2018, 01:40	3
	Сообщение от palva Надо домножить и разделить на неполную пятнадцатую степень суммы выражений в скобках. А если бы пример выглядел так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x \to +\infty}\left(\left(x^n+a \right)^{\frac{1}{n}}-\left(x^m+b \right)^{\frac{1}{m}} \right), \: a,b \in R, \: m,n \in N$ ? Ответ таки 0, причём в вышенаписанном общем виде. 0

@palva 4241 / 2938 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2018, 04:28	4
	Сообщение от palva Надо домножить и разделить на неполную пятнадцатую степень Здесь я ошибся. Надо "на неполную четырнадцатую степень". Далее я так и делаю. Сообщение от jogano А если бы пример выглядел так Можно опять вынести x и по формуле Тейлора, если ТС это изучал. Но он хотел домножением. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim x\left[\left(1+\frac{a}{x^n}\right)^{1/n}-\left(1+\frac{b}{x^m}\right)^{1/m}\right]=\lim x\left[\left(1+\frac{a}{nx^n}+o\left(\frac{a}{x^n}\right)\right)-\left(1+\frac{b}{mx^m}+o\left(\frac{a}{x^m}\right)\right]=\ldots$ Добавлено через 5 минут А если домножением, то искать НОК чисел n и m и домножать на неполную степень НОК-1. 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	12.12.2018, 04:39	5
	Сообщение было отмечено WarmSoftFur как решение Решение Сообщение от palva Можно опять вынести x и по формуле Тейлора, если ТС это изучал. Но он хотел домножением. Можно, хотя тема пределов проходится раньше производных, а значит и ряда Тейлора тем более. Но 3-й замечательный предел он явно проходил. Я делал так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x^n+a \right)^{\frac{1}{n}}-\left(x^m+b \right)^{\frac{1}{m}}=x\left(\left(1+\frac{a}{x^n} \right)^{\frac{1}{n}}-\left(1+\frac{b}{x^m} \right)^{\frac{1}{m}} \right)=\frac{a}{x^{n-1}}\frac{\left(1+\frac{a}{x^n} \right)^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{a}{x^n}}-\frac{b}{x^{m-1}}\frac{\left(1+\frac{b}{x^m} \right)^{\frac{1}{m}}-1}{\frac{b}{x^m}} \to 0 \cdot \frac{1}{n}-0 \cdot \frac {1}{m}=0 ,\: x \to +\infty$ 1

@palva 4241 / 2938 / 687 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,817 Записей в блоге: 4
	12.12.2018, 05:58	6
	Добавить и отнять тоже хорошая идея. Ее можно применить сразу к исходному примеру, чтобы при домножении на сопряженные не иметь дело с 15-й степенью. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\sqrt[3]{x^3+4}-\sqrt[3]{x^3})-(\sqrt[5]{x^5-5}-\sqrt[5]{x^5})$ Теперь можно находить предел каждой скобки. Домножением или замечательным пределом. 0

Найти предел, избавившись от неопределённости

Решение