Примеры решения нелинейных уравнений методом Драгилева - Численные методы - Страница 2

@one man · 02.08.2019, 19:10 **[ТС]**

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Например, задание: выделить на графике подряд три участка одной длины с такой-то точностью.
Как вариант. Примерно 0,02:

Примеры решения нелинейных уравнений методом Драгилева

@one man · 03.08.2019, 21:24 **[ТС]**

Думается, пусть будет здесь тоже. Первое больше про линии пересечения поверхностей, а второе про то, как люди сами нашли и сами же применили.
Оно и примеры, и чтобы не искать по ссылкам.
ДУБАНОВ А.А..pdf
К методу Драгилева.pdf

@one man · 06.08.2019, 10:15 **[ТС]**

Хочется, но пока не получается, подобрать пример расчёта кинематики рычажного механизма, чтобы он был и не очень громоздким, и в то же время достаточно сложным для стандартных приёмов ТММ. Возможно, с манипулятором получится проще. Там и там суть в сохранении жёстких геометрических связей при наличии подвижных соединений. У механизмов интересны расчёт скоростей и ускорений, а у манипуляторов – вычисление управляющих параметров для прямой задачи.

(Забыл поделиться одной историей, непосредственно связанной с методом Драгилева. Есть ещё один тоже довольно научный себе форум, это форум dxdy. На этом форуме меня с методом Драгилева сначала отправили в местный пургаторий, а потом просто выгнали. Правда, тогда ещё не было публикаций по методу, зато слово “научный” в названии форума присутствовало изначально.)

@one man · 06.08.2019, 20:24 **[ТС]**

Да, наверно, с манипулятором будет проще, и манипуляторы сегодня в моде.
Рассмотрим пример самого простого двухзвенного 3d манипулятора. Длина его первого звена равна 2, а второго 1. Координаты конца первого звена обозначим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x1,x2,x3$

координаты рабочей точки

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x4,x5,x6$ .

Второе звено соединено с первым с помощью оси, а первое звено имеет шаровое основание в основании координат. Получается, что у этого манипулятора 3 степени свободы. Такая модель описывается тремя уравнениями с шестью переменными. Это первые три уравнения в системе уравнений:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ x1^2 + x2^2 + x3^2 - 4 = 0; \\ & \(x4 - x1)^2 + (x5 - x2)^2 + (x6 - x3)^2 - 1 = 0; \\ & \ -x4\cdot (x2 - x5) + x5\cdot (x1 - x4) = 0; \\ & \(x4 - 3)^4 + (x5 - 2.5)^4 + (x6 - 1.5)^4 - 2.5^4 = 0; \\ & \ x4^2 + (x5 -0.5)^2 + (x6 + 2)^2 - 2.9^2 = 0; \end{cases}$

Первые два уравнения отвечают за расстояния между точками звеньев, а третье уравнение отвечает за плоское соединение между первым и вторым звеном. Два последних уравнения системы определяют траекторию движения рабочей точки.
Допустим, именно по этой траектории нам надо совершать перемещения рабочей точки. Стоит задача получить управляющие углы манипулятора для перемещения его рабочей точки между точками

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? 0.5253210, 1.3985843, 0.9567676$

и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? 1.7743787, 0.0538161, 0.5$

по траектории, заданной двумя последними уравнениями системы. Траекторией, напомним, может служить любая гладкая кривая.
Уже понятно, что система легко решается методом Драгилева – это мы проходили. Вычислив значения всех неизвестных при прохождении данного отрезка кривой, мы однозначно получаем любые углы между звеньями с осями координат и углы между самими звеньями для любой точки траектории (управляющие параметры манипулятора). Другими словами, практически мы решили обратную задачу.

Данных достаточно, чтобы желающие могли повторить (проверить) решение и заодно посчитать все возможные углы по всей длине траектории, чтобы потом по этим углам воспроизвести прямое движение манипулятора.

@one man · 07.08.2019, 13:50 **[ТС]**

На всякий случай покажем невязки по траектории движения рабочей точки. Это невязки 4 и 5 уравнения системы:

Кликните здесь для просмотра всего текста

f4=5.241706635672472e-5, f5=6.79917988577472e-6
f4=6.522086470539534e-5, f5=6.52596998840238e-6
f4=7.459559130751359e-5, f5=5.702123996087494e-6
f4=7.44159431889102e-5, f5=4.802130558090312e-6
f4=6.229411793157169e-5, f5=4.202174595846486e-6
f4=4.31048989781857e-5, f5=4.008987547265974e-6
f4=3.2655440968198945e-5, f5=4.028386227261649e-6
f4=4.306199836179303e-5, f5=4.8402380308232296e-6
f4=3.545016970463166e-5, f5=(5.401736713039895e-6
f4=(3.679100878173358e-6, f5=5.012375014601389e-6
f4=(-2.4091742382381653e-5, f5=4.16064702513097e-6
f4=-1.7113786043410073e-5, f5=3.5930968742547975e-6
f4=2.1055569852990175e-5, f5=3.593757618602922e-6
f4=4.354211608870173e-5, f5=3.945503749491763e-6
f4=4.968567667873458e-5, f5=4.823616286842025e-6
f4=-3.0674834611943425e-5, f5=4.657595351176269e-6
f4=-1.314460622481306e-4, f5=3.6094393500718525e-6
f4=-1.3918928129896813e-4, f5=2.8098988824609705e-6
f4=-2.8344815397929324e-5, f5=2.9946945776515577e-6
f4=2.7886125380405247e-5, f5=3.190615810666486e-6
f4=3.4254142619261074e-5, f5=2.6881597463557227e-6
f4=-1.8229958563154014e-5, f5=1.8416512936880736e-6
f4=-1.0488140608089225e-4, f5=7.696377384291964e-7
f4=-1.5649391680483404e-4, f5=6.815799125092781e-8
f4=-1.251004931503985e-4, f5=5.96712872891203e-7
f4= -4.0746774637057115e-5, f5=2.2587994976674963e-6
f4=-6.803676053834806e-5, f5=1.5880897414888295e-6
f4=-1.949153057907438e-4, f5=-3.267341263324397e-6
f4=-1.025039948743256e-4, f5=-6.827534146935932e-6
f4=2.2198239354764837e-4, f5=-7.094706353072411e-6
f4=5.862764581223701e-4, f5=-4.762314080863916e-6
f4=7.493540460785653e-4, f5=-1.6724984899241235e-6
f4=5.732165580312198e-4, f5=4.3600911681096477e-7
f4=1.664866473731763e-4, f5=8.910974909071001e-7
f4=-1.8015318133279834e-5, f5=5.850207092095161e-7
f4=-6.190470547551286e-5, f5=-1.407526951879845e-6
f4=-6.844927666804779e-5, f5=-3.1974675778201345e-6
f4=-9.751210484409967e-6, f5=-3.1309436430149162e-6
f4=7.879343086614199e-5, f5=-1.3452003795322298e-6
f4=1.3983437749232053e-4 , f5=8.689991428667554e-7
f4=1.3087581314863428e-4, f5=1.9561729089900837e-6
f4=5.653779416547877e-5, f5=1.2041130332818284e-6
f4=-3.611933713898452e-6, f5=4.206402337558757e-8
f4=-3.6440972621676337e-6, f5=-2.9621365627008345e-7
f4=-6.972438697516736e-6, f5=-7.260662879815527e-7
f4=-1.3551457257676702e-5, f5=-7.154168066847433e-7
f4=-1.956986749718226e-5, f5=-2.3521766223666418e-7
f4=-2.084694742876536e-5, f5=3.739866016871929e-7
f4= -1.550615797896171e-5, f5=6.527457010463422e-7
f4=-5.9344495468849345e-6, f5=3.7662980645336575e-7
f4=-3.1732980687593226e-9, f5=1.4456595920364634e-9

Это соответствует числу кадров анимации при движении в одну сторону. Но количество рабочих положений манипулятора для любой траектории ничем не ограничено, если нужна просто таблица.

@one man · 09.08.2019, 10:08 **[ТС]**

Совет по реализации.
Чтобы не работать с дифф уравнениями явного вида и не производить для этого громоздких преобразований, можно ограничиться лишь получением матрицы Якоби. Тогда в каждом узле численного решения дифф уравнения мы будем решать систему линейных уравнений относительно производных.
Удобно, если в лоб не пользоваться мощью мат пакета для реализации метода Драгилева. Например, так было сделано на Фортране и на Паскале.

И ещё по реализации. Любую переменную можно назначить свободной. На существовании и единственности решения дифф уравнения выбор переменной не сказывается, потому что это теория. Просто для программирования удобно брать “первую” или “последнюю” переменную в качестве свободной, иначе легко допустить ошибку при больших размерностях.

@one man · 22.08.2019, 21:38 **[ТС]**

Пример картинок математической анимации. Изобразить качение без проскальзывания гладкой по математическому определению линии или гладкой поверхности. Очень давно хотелось реализовать качение не круглого, а просто гладкого. Помог метод Драгилева и нормирование.
На выбранной поверхности строим линию, её можно получить как пересечение с какой-нибудь другой поверхностью (метод Драгилева). Эту линию и траекторию качения делим на отрезки одинаковой длины. Совмещаем первый отрезок линии с первым отрезком траектории. При этом со всеми остальными отрезками линии и с самим уравнением поверхности мы производим то же самое преобразование – тот же поворот и то же смещение. Переходя к очередному отрезку линии и соответствующему ему отрезку траектории, совершаем аналогичные действия… На картинке достигается вид качения без проскальзывания.
Красным отображается уравнение поверхности в текущей точке пространства.

Кликните здесь для просмотра всего текста

(Тексты на MaplePrimes.)

@one man · 08.09.2019, 20:23 **[ТС]**

Метод Драгилева может применяться к решению системы NxN ещё и таким образом. Исключаем из системы какое-нибудь одно уравнение. После этого двигаемся по пространственной кривой (описываемой оставшимися уравнениями), отслеживая перемену знака исключённого уравнения. Каждая перемена знака сигнализирует о решении исходной системы. То есть, мы не добавляем новую переменную , а убираем одно уравнение из системы.
Такой приём бывает очень удобен, когда, например, известно, что число решений большое, когда одно из уравнений содержит сложные зависимости или получить решение оставшихся уравнений довольно просто.

@one man · 16.09.2019, 21:18 **[ТС]**

В сообщении от 07.05.2019.15:07 в теме
Метод итераций для уравнений
был предложен следующий пример:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ (4\cdot (1-2\cdot cos(x1)+2\cdot cos(x2)-2\cdot cos(x3)))/Pi-x4 = 0; \\ & \ (4\cdot (1-2\cdot cos(5\cdot x1)+2\cdot cos(5\cdot x2)-2\cdot cos(5\cdot x3)))/(5\cdot Pi) = 0; \\ & \ (4\cdot (1-2\cdot cos(7\cdot x1)+2\cdot cos(7\cdot x2)-2\cdot cos(7\cdot x3)))/(7\cdot Pi) = 0; \end{cases}$

Рассмотрим один из подходов к его решению. Произведём следующие замены:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? cos(x1)=x1;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? cos(x2)=x2;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? cos(x3)=x3$ ,
и система уравнений примет следующий вид:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ 4-8\cdot x1+8\cdot x2-8\cdot x3-Pi\cdot x4 = 0; \\ & \ 4/5-(128/5) \cdot x1^5+32\cdot x1^3-8\cdot x1+(128/5) \cdot x2^5-32\cdot x2^3+8\cdot x2-(128/5) \cdot x3^5+32\cdot x3^3-8\cdot x3 = 0; \\ & \ 4/7-(512/7) \cdot x1^7+128\cdot x1^5-64\cdot x1^3+8\cdot x1+(512/7) \cdot x2^7-128\cdot x2^5+64\cdot x2^3-8\cdot x2-(512/7) \cdot x3^7+128\cdot x3^5-64\cdot x3^3+8\cdot x3 = 0; \end{cases}$

Это система уже алгебраических уравнений, и при числе переменных, равным числу уравнений, с ней численно может справиться пакет компьютерной алгебры, например, Maple на основе базисов Грёбнера. У системы 4 переменные и 3 уравнения, эта система описывает кривую в пространстве 4d. Попробуем найти точку(и) на этой кривой, чтобы применить метод Драгилева. От фонаря добавим к этой системы уравнение плоскости:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x1+x2+x3+x4 = 0;$
Это очень простое уравнение, и есть большая вероятность, что плоскость пересечёт кривую в пространстве 4d. И на самом деле, Maple находит 43 решения – это 43 точки, которые лежат на этой кривой. Построим часть кривой, например, от одного из этих решений:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (0.07191, 0.10163, 0.98446, -1.15800)$ ,
тогда точка на кривой будет:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x01 = arccos(0.07191);$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x02 := arccos(0.10163);$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x03 := arccos(0.98446);$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x04 := -1.15800;$
На наше видимое пространство выведем проекции подмножества найденных решений системы, что есть часть всей кривой. Количество проекций равно числу сочетаний 3 переменных из 4, то есть 4 проекции.

Формально должно быть 4 отдельных графика с соответствующими осями, но чтобы не занимать много места, показываем их вместе на одной картинке. Решение периодическое.
Мы не ставим задачу подробного исследования решения системы, а просто показываем подход, на основе которого такую задачу вполне возможно осуществить.
Напомним, это реальный пример из жизни.

@one man · 19.09.2019, 20:01 **[ТС]**

Кстати, метод Драгилева сам для себя находит от 8 точек непосредственно в самой исходной системе при добавлении в неё того же уравнения:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x1+x2+x3+x4 = 0;$ ,

То есть, безо всякого матпакета и базисов Грёбнера.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ (4\cdot (1-2\cdot cos(x1)+2\cdot cos(x2)-2\cdot cos(x3)))/Pi-x4 = 0; \\ & \ (4\cdot (1-2\cdot cos(5\cdot x1)+2\cdot cos(5\cdot x2)-2\cdot cos(5\cdot x3)))/(5\cdot Pi) = 0; \\ & \ (4\cdot (1-2\cdot cos(7\cdot x1)+2\cdot cos(7\cdot x2)-2\cdot cos(7\cdot x3)))/(7\cdot Pi) = 0; \\ & \ x1+x2+x3+x4 = 0; \end{cases}$
Начальные точки:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x01 = 1.;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x02 = 1.;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x03 = 1.;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x04 = 1.;$
Находится 8 точек при интервале интегрирования -1 … 1.

@one man · 05.11.2019, 19:42 **[ТС]**

Не так давно на одном из довольно-таки известных в мире форумов появился вопрос, связанный с кинематикой миксера в среде MapleSim.

На вопрос ответа не последовало, были лишь комментарии.

Нашлось время попробовать решить задачу, правда, об оформлении речь пока не идёт. Механизм имеет одну степень свободы, что в лоб соответствует решению системы из 11 полиномиальных уравнений с 12 переменными. 12 переменных это координаты 4-х точек – на рисунке концы красных отрезков.

Можно обсудить как предлагаемую мат модель, так и её решение.

@one man · 16.11.2019, 23:14 **[ТС]**

Сообщение от one man

Можно обсудить как предлагаемую мат модель, так и её решение.

Математическая модель Schatz механизма (миксера) в более приличном виде.

Правая вертикальная ось задаёт равномерное вращение, захваты плоско соединены с осями. Видно, как левая ось совершает неравномерное вращение при равномерном вращении правой оси.
Все вычисления на основе метода А.В. Драгилева.

@one man · 28.12.2019, 15:27 **[ТС]**

В МГУ возникла тема с таким названием: ”Задача по касанию вершинами треугольника трех сфер”. Оказалось, речь идёт о платформе с тремя степенями свободы. Поскольку платформа отечественная, то никакого управления параметрами, – в данном случае это, скорее всего, сферические углы, – не предусмотрено. Выяснилось всё это не сразу, не очень просто и не до конца. Но связано с нашей космонавтикой.
Интересно, как ребята приспособились с этой платформой работать. На платформу они наварили тетраэдр, соединив его вершину с помощью шарнира с шатуном, который совершает плоские колебания в ZoX. То есть, они из трёх исходных хаотичных степеней свободы получили одну степень свободы.
Легко посчитать. Сначала у нас три вершины равностороннего треугольника, каждая из вершин лежит на поверхности одной из трёх сфер. Радиусы сфер равны между собой, центры сфер равноудалены друг от друга, от центра координат и лежат в плоскости, параллельной XoY. Итого: три точки это 9 степеней свободы. Отнимаем от 9 число расстояний между точками: 9-3=6. Теперь от 6 отнимаем условие, что точки всё время находятся на поверхностях сфер: 6-3=3. Это и есть три неуправляемые степени свободы исходной платформы. Добавляя к ним новую точку (вершина тетраэдра), получаем 3+3=6 степеней свободы. Вычитаем из 6 условия фиксированных расстояний новой точки от вершин треугольника: 6 - 3=3, ещё вычитаем условия, что точка находится на шатуне, который качается плоско: 3 - 2=1.
В итоге у нас четыре подвижные точки, это 12 переменных, и 11 связей между ними, что соответствует решению полиномиальной системы 11 уравнений с 12 переменными.
Если бы платформа была управляемой, то мы довольно легко могли накладывать любые ограничения виртуально, точнее, математически. Задавать нужные виды движения, исходя как из геометрических, так и из кинематических её возможностей. После этого автоматически вычислять значения входных параметров и уже непосредственно управлять реальным движением платформы.
Например, будь эта платформа управляемой, мы могли бы прицепить шатун и приварить тетраэдр виртуально, получив точно такое же движение платформы в реальности без шатуна и тетраэдра физических.

@one man · 29.12.2019, 20:59 **[ТС]**

Поменяли условие движения шатуна в плоскости XoZ на условие параллельности его движения плоскости XoY (замена одного уравнения в системе другим уравнением) и увеличили длину шатуна. Просто в качестве дополнительного примера, как можно математическим путём управлять неуправляемой платформой.
Да, это всё может метод Драгилева.

@one man · 08.01.2020, 15:14 **[ТС]**

Ещё вариант движения платформы. Шатун движется в плоскости, заданной последним уравнением системы. (Думается, его вполне можно сделать кривошипом, если слегка изменить конструкцию платформы.) Вот, какое разнообразие движений у простой схемы.
Можно сократить количество переменных, выразив координаты вершины пирамиды (x10, x11, x12) через координаты точек основания. Тогда все те же самые траектории будут описываться системами из 8 уравнений с 9-ю переменными.
На этот раз не поленился и выписал систему: 12 переменных и 11 уравнений.
(x1,x2,x3), (x4,x5,x6), (x7,x8,x9) – координаты вершин треугольника. То есть, по сути, система очень простая. Первые 10 уравнений соответствуют расстояниям между точками, а последнее уравнение задаёт плоскость движения.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ (x1 - 0)^2 + (x2 - 1.4)^2 + (x3 + 4)^2 - 2^2 = 0; \\ & \ (x4 - 1.4\cdot cos(Pi/6))^2 + (x5 + 1.4\cdot sin(Pi/6))^2 + (x6 + 4)^2 - 2^2 = 0;\\ & \ (x7 + 1.4\cdot cos(Pi/6))^2 + (x8 + 1.4\cdot sin(Pi/6))^2 + (x9 + 4)^2 - 2^2 = 0;\\ & \ (x10 - 0)^2 + (x11 - 0)^2 + (x12 - 2)^2 - 1^2 = 0; \\ & \ (x4 - x1)^2 + (x5 - x2)^2 + (x6 - x3)^2 - 2.38^2 = 0; \\ & \ (x7 - x1)^2 + (x8 - x2)^2 + (x9 - x3)^2 - 2.38^2 = 0; \\ & \ (x7 - x4)^2 + (x8 - x5)^2 + (x9 - x6)^2 - 2.38^2 = 0; \\ & \ (x10 - x1)^2 + (x11 - x2)^2 + (x12 - x3)^2 - 6^2 = 0; \\ & \ (x10 - x4)^2 + (x11 - x5)^2 + (x12 - x6)^2 - 6^2 = 0; \\ & \ (x10 - x7)^2 + (x11 - x8)^2 + (x12 - x9)^2 - 6^2 = 0; \\ & \ x10 - 0.125\cdot x12 = 0; \end{cases}$

На картинках показано одно из решений системы под разными углами.

Метод Драгилева.

@one man · 22.01.2020, 22:53 **[ТС]**

Такая простоя мат модель, как система уравнений, позволяет автоматически на основе непрерывных зависимостей вносить изменения в виртуальную конструкцию. Добавим в систему ещё несколько переменных. Пусть это будет координата по оси oZ точки крепления кривошипа x13, длина кривошипа x14, расстояния от конца кривошипа до точек основания платформы x15. И немного повернём плоскость вращения кривошипа. Число переменных системы дошло до 15, а уравнений осталось 11.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ (x1 - 0)^2 + (x2 - 1.4)^2 + (x3 + 4)^2 - 2^2 = 0; \\ & \ (x4 - 1.4\cdot cos(Pi/6))^2 + (x5 + 1.4\cdot sin(Pi/6))^2 + (x6 + 4)^2 - 2^2 = 0;\\ & \ (x7 + 1.4\cdot cos(Pi/6))^2 + (x8 + 1.4\cdot sin(Pi/6))^2 + (x9 + 4)^2 - 2^2 = 0;\\ & \ (x10 - 0)^2 + (x11 - 0)^2 + (x12 - x13)^2 - x14^2 = 0; \\ & \ (x4 - x1)^2 + (x5 - x2)^2 + (x6 - x3)^2 - 2.38^2 = 0; \\ & \ (x7 - x1)^2 + (x8 - x2)^2 + (x9 - x3)^2 - 2.38^2 = 0; \\ & \ (x7 - x4)^2 + (x8 - x5)^2 + (x9 - x6)^2 - 2.38^2 = 0; \\ & \ (x10 - x1)^2 + (x11 - x2)^2 + (x12 - x3)^2-x15^2 = 0; \\ & \ (x10 - x4)^2 + (x11 - x5)^2 + (x12 - x6)^2-x15^2 = 0; \\ & \ (x10 - x7)^2 + (x11 - x8)^2 + (x12 - x9)^2-x15^2 = 0; \\ & \ x10 = 0; \end{cases}$

Решая эту систему, можно получить несколько другой вид устройства платформы, при этом схема остаётся прежней.
Мы не меняли размеры треугольника, но сместили точку крепления кривошипа, изменили длину 3-х рёбер пирамиды и длину самого кривошипа.

Таких вариантов бесконечное множество. При этом могут возникать другие схемы движения, которые не имеют непрерывного перехода между собой. В ТММ это, кажется, называется сборками, что отвечает несвязным множествам решений системы уравнений. С помощью метода Драгилева можно совершать переход между несвязными участками, но это уже сильно зависит от удачного начала поиска – от начальной точки. Зато метод Драгилева способен находить всё связное множество.

@one man · 23.01.2020, 18:46 **[ТС]**

Сообщение от one man

При этом могут возникать другие схемы движения, которые не имеют непрерывного перехода между собой. В ТММ это, кажется, называется сборками, что отвечает несвязным множествам решений системы уравнений.

Эта картинка тоже является решением абсолютно той же самой системы уравнений, что и картинка из предыдущего сообщения. (В сообщениях по одной картинке, просто одна картинка под двумя разными углами.) Каждое из этих двух решений находится в своём подмножестве решений системы, но это несвязные подмножества. Поэтому не может быть перехода между движениями платформы на картинках в двух последних сообщениях. То есть, в реальности движение платформы из предыдущего сообщения не может перейти в движение платформы из данного сообщения, чтобы предварительно не претерпеть разборку или поломку конструкции.

@one man · 04.02.2020, 23:20 **[ТС]**

Пример мат модели, но уже управляемой платформы с 6-ю степенями свободы.

И вид сверху

Треугольник как твёрдое тело, значит, это 6 степеней свободы. Система для 9 координат из трёх уравнений жёстких связей между точками – это стороны треугольника. И задаём какую-либо траекторию движения вершин треугольника, добавляя тем самым уравнения к системе. Три вращающиеся стойки переменной длины. Выходит, что это задача обратной кинематики для платформы такой вот конструкции. А если взять известную платформу Стюарта, то она может и не воспроизвести подобную траекторию. Но чтобы не гадать, сможет или не сможет, всё это проверяется на мат модели, потому что мат модель изначально не привязана ни к какой конструкции. Проверить можно как визуально, так и путём контрольных вставок в программу. (Проверить можно, например, на допустимые углы наклона стоек, на возможное пересечение стоек, на длину их выдвижения…)

(Объединить бы с предыдущим сообщением, и можно, наверно, завершить с платформами.)
Условие движения платформы параллельно какой-нибудь плоскости задаётся двумя уравнениями в системе уравнений. В случае плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?XoY$ это уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x3=x6$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x3=x9$ (или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x6=x9$ ), где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x3, x6, x9$ координаты точек треугольника по оси $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?oZ$ .

@one man · 21.02.2020, 22:44 **[ТС]**

Если левые части уравнений поверхностей неявного вида умножить друг на друга и приравнять 0, то полученное таким образом уравнение одновременно задаёт множество всех точек этих поверхностей.
Пример. Точка некой подвижной конструкции лежит на одной из трёх поверхностей, заданных неявно.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? fi(x,y,z)=0; i=1..3$ , новая поверхность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F(x,y,z)=f1\cdot f2\cdot f3=0;$

@one man · 07.03.2020, 20:49 **[ТС]**

Работу метода довольно просто представить геометрически. В случае 2d, когда у нас одно уравнение и две переменные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F(x,y) = 0$ , решением является линия, эта линия строится с помощью касательных. Касательная к линии перпендикулярна нормали в текущей точке. Градиент $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F(x,y) = 0$ , это вектор с координатами
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (\frac{\partial F}{\partial x }, \frac{\partial F}{\partial y } )$ . В каждой точке он определяет вектор нормали к линии. Условие перпендикулярности вектору нормали в точке это полный дифференциал функции
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F(x,y) = 0$ , то есть это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial F}{\partial x }\cdot dx + \frac{\partial F}{\partial y }\cdot dy =0$ . А отсюда уравнение касательной к линии в текущей точке (x0,y0):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial F}{\partial x }(x0,y0)\cdot (x0-x) + \frac{\partial F}{\partial y }(x0,y0)\cdot (y0-y) =0$
В пространстве Nd всё происходит аналогичным образом. Только линия в этом пространстве является линией пересечения поверхностей, и мы решаем систему не с одним уравнением, а с числом уравнений (поверхностей) N-1. Полные дифференциалы задают касательные плоскости, пересечение касательных плоскостей есть касательная прямая ко всем поверхностям одновременно, с помощью касательной мы строим линию в пространстве Nd.

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	02.08.2019, 19:10 [ТС]	21
	Например, задание: выделить на графике подряд три участка одной длины с такой-то точностью. Как вариант. Примерно 0,02: 1

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	03.08.2019, 21:24 [ТС]	22
	Думается, пусть будет здесь тоже. Первое больше про линии пересечения поверхностей, а второе про то, как люди сами нашли и сами же применили. Оно и примеры, и чтобы не искать по ссылкам. ДУБАНОВ А.А..pdf К методу Драгилева.pdf 1

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	06.08.2019, 10:15 [ТС]	23
	Хочется, но пока не получается, подобрать пример расчёта кинематики рычажного механизма, чтобы он был и не очень громоздким, и в то же время достаточно сложным для стандартных приёмов ТММ. Возможно, с манипулятором получится проще. Там и там суть в сохранении жёстких геометрических связей при наличии подвижных соединений. У механизмов интересны расчёт скоростей и ускорений, а у манипуляторов – вычисление управляющих параметров для прямой задачи. (Забыл поделиться одной историей, непосредственно связанной с методом Драгилева. Есть ещё один тоже довольно научный себе форум, это форум dxdy. На этом форуме меня с методом Драгилева сначала отправили в местный пургаторий, а потом просто выгнали. Правда, тогда ещё не было публикаций по методу, зато слово “научный” в названии форума присутствовало изначально.) 1

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	06.08.2019, 20:24 [ТС]	24
	Да, наверно, с манипулятором будет проще, и манипуляторы сегодня в моде. Рассмотрим пример самого простого двухзвенного 3d манипулятора. Длина его первого звена равна 2, а второго 1. Координаты конца первого звена обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x1,x2,x3$ координаты рабочей точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x4,x5,x6$ . Второе звено соединено с первым с помощью оси, а первое звено имеет шаровое основание в основании координат. Получается, что у этого манипулятора 3 степени свободы. Такая модель описывается тремя уравнениями с шестью переменными. Это первые три уравнения в системе уравнений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ x1^2 + x2^2 + x3^2 - 4 = 0; \\ & \(x4 - x1)^2 + (x5 - x2)^2 + (x6 - x3)^2 - 1 = 0; \\ & \ -x4\cdot (x2 - x5) + x5\cdot (x1 - x4) = 0; \\ & \(x4 - 3)^4 + (x5 - 2.5)^4 + (x6 - 1.5)^4 - 2.5^4 = 0; \\ & \ x4^2 + (x5 -0.5)^2 + (x6 + 2)^2 - 2.9^2 = 0; \end{cases}$ Первые два уравнения отвечают за расстояния между точками звеньев, а третье уравнение отвечает за плоское соединение между первым и вторым звеном. Два последних уравнения системы определяют траекторию движения рабочей точки. Допустим, именно по этой траектории нам надо совершать перемещения рабочей точки. Стоит задача получить управляющие углы манипулятора для перемещения его рабочей точки между точками $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? 0.5253210, 1.3985843, 0.9567676$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? 1.7743787, 0.0538161, 0.5$ по траектории, заданной двумя последними уравнениями системы. Траекторией, напомним, может служить любая гладкая кривая. Уже понятно, что система легко решается методом Драгилева – это мы проходили. Вычислив значения всех неизвестных при прохождении данного отрезка кривой, мы однозначно получаем любые углы между звеньями с осями координат и углы между самими звеньями для любой точки траектории (управляющие параметры манипулятора). Другими словами, практически мы решили обратную задачу. Данных достаточно, чтобы желающие могли повторить (проверить) решение и заодно посчитать все возможные углы по всей длине траектории, чтобы потом по этим углам воспроизвести прямое движение манипулятора. 1

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	07.08.2019, 13:50 [ТС]	25
	На всякий случай покажем невязки по траектории движения рабочей точки. Это невязки 4 и 5 уравнения системы: Кликните здесь для просмотра всего текста f4=5.241706635672472e-5, f5=6.79917988577472e-6 f4=6.522086470539534e-5, f5=6.52596998840238e-6 f4=7.459559130751359e-5, f5=5.702123996087494e-6 f4=7.44159431889102e-5, f5=4.802130558090312e-6 f4=6.229411793157169e-5, f5=4.202174595846486e-6 f4=4.31048989781857e-5, f5=4.008987547265974e-6 f4=3.2655440968198945e-5, f5=4.028386227261649e-6 f4=4.306199836179303e-5, f5=4.8402380308232296e-6 f4=3.545016970463166e-5, f5=(5.401736713039895e-6 f4=(3.679100878173358e-6, f5=5.012375014601389e-6 f4=(-2.4091742382381653e-5, f5=4.16064702513097e-6 f4=-1.7113786043410073e-5, f5=3.5930968742547975e-6 f4=2.1055569852990175e-5, f5=3.593757618602922e-6 f4=4.354211608870173e-5, f5=3.945503749491763e-6 f4=4.968567667873458e-5, f5=4.823616286842025e-6 f4=-3.0674834611943425e-5, f5=4.657595351176269e-6 f4=-1.314460622481306e-4, f5=3.6094393500718525e-6 f4=-1.3918928129896813e-4, f5=2.8098988824609705e-6 f4=-2.8344815397929324e-5, f5=2.9946945776515577e-6 f4=2.7886125380405247e-5, f5=3.190615810666486e-6 f4=3.4254142619261074e-5, f5=2.6881597463557227e-6 f4=-1.8229958563154014e-5, f5=1.8416512936880736e-6 f4=-1.0488140608089225e-4, f5=7.696377384291964e-7 f4=-1.5649391680483404e-4, f5=6.815799125092781e-8 f4=-1.251004931503985e-4, f5=5.96712872891203e-7 f4= -4.0746774637057115e-5, f5=2.2587994976674963e-6 f4=-6.803676053834806e-5, f5=1.5880897414888295e-6 f4=-1.949153057907438e-4, f5=-3.267341263324397e-6 f4=-1.025039948743256e-4, f5=-6.827534146935932e-6 f4=2.2198239354764837e-4, f5=-7.094706353072411e-6 f4=5.862764581223701e-4, f5=-4.762314080863916e-6 f4=7.493540460785653e-4, f5=-1.6724984899241235e-6 f4=5.732165580312198e-4, f5=4.3600911681096477e-7 f4=1.664866473731763e-4, f5=8.910974909071001e-7 f4=-1.8015318133279834e-5, f5=5.850207092095161e-7 f4=-6.190470547551286e-5, f5=-1.407526951879845e-6 f4=-6.844927666804779e-5, f5=-3.1974675778201345e-6 f4=-9.751210484409967e-6, f5=-3.1309436430149162e-6 f4=7.879343086614199e-5, f5=-1.3452003795322298e-6 f4=1.3983437749232053e-4 , f5=8.689991428667554e-7 f4=1.3087581314863428e-4, f5=1.9561729089900837e-6 f4=5.653779416547877e-5, f5=1.2041130332818284e-6 f4=-3.611933713898452e-6, f5=4.206402337558757e-8 f4=-3.6440972621676337e-6, f5=-2.9621365627008345e-7 f4=-6.972438697516736e-6, f5=-7.260662879815527e-7 f4=-1.3551457257676702e-5, f5=-7.154168066847433e-7 f4=-1.956986749718226e-5, f5=-2.3521766223666418e-7 f4=-2.084694742876536e-5, f5=3.739866016871929e-7 f4= -1.550615797896171e-5, f5=6.527457010463422e-7 f4=-5.9344495468849345e-6, f5=3.7662980645336575e-7 f4=-3.1732980687593226e-9, f5=1.4456595920364634e-9 Это соответствует числу кадров анимации при движении в одну сторону. Но количество рабочих положений манипулятора для любой траектории ничем не ограничено, если нужна просто таблица. 1

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	09.08.2019, 10:08 [ТС]	26
	Совет по реализации. Чтобы не работать с дифф уравнениями явного вида и не производить для этого громоздких преобразований, можно ограничиться лишь получением матрицы Якоби. Тогда в каждом узле численного решения дифф уравнения мы будем решать систему линейных уравнений относительно производных. Удобно, если в лоб не пользоваться мощью мат пакета для реализации метода Драгилева. Например, так было сделано на Фортране и на Паскале. И ещё по реализации. Любую переменную можно назначить свободной. На существовании и единственности решения дифф уравнения выбор переменной не сказывается, потому что это теория. Просто для программирования удобно брать “первую” или “последнюю” переменную в качестве свободной, иначе легко допустить ошибку при больших размерностях. 1

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	22.08.2019, 21:38 [ТС]	27
	Пример картинок математической анимации. Изобразить качение без проскальзывания гладкой по математическому определению линии или гладкой поверхности. Очень давно хотелось реализовать качение не круглого, а просто гладкого. Помог метод Драгилева и нормирование. На выбранной поверхности строим линию, её можно получить как пересечение с какой-нибудь другой поверхностью (метод Драгилева). Эту линию и траекторию качения делим на отрезки одинаковой длины. Совмещаем первый отрезок линии с первым отрезком траектории. При этом со всеми остальными отрезками линии и с самим уравнением поверхности мы производим то же самое преобразование – тот же поворот и то же смещение. Переходя к очередному отрезку линии и соответствующему ему отрезку траектории, совершаем аналогичные действия… На картинке достигается вид качения без проскальзывания. Красным отображается уравнение поверхности в текущей точке пространства. Кликните здесь для просмотра всего текста (Тексты на MaplePrimes.) 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	08.09.2019, 20:23 [ТС]	28
	Метод Драгилева может применяться к решению системы NxN ещё и таким образом. Исключаем из системы какое-нибудь одно уравнение. После этого двигаемся по пространственной кривой (описываемой оставшимися уравнениями), отслеживая перемену знака исключённого уравнения. Каждая перемена знака сигнализирует о решении исходной системы. То есть, мы не добавляем новую переменную , а убираем одно уравнение из системы. Такой приём бывает очень удобен, когда, например, известно, что число решений большое, когда одно из уравнений содержит сложные зависимости или получить решение оставшихся уравнений довольно просто. 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	16.09.2019, 21:18 [ТС]	29
	В сообщении от 07.05.2019.15:07 в теме Метод итераций для уравнений был предложен следующий пример: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \<br /> (4\cdot (1-2\cdot cos(x1)+2\cdot cos(x2)-2\cdot cos(x3)))/Pi-x4 = 0; <br /> \\ & \<br /> (4\cdot (1-2\cdot cos(5\cdot x1)+2\cdot cos(5\cdot x2)-2\cdot cos(5\cdot x3)))/(5\cdot Pi) = 0; <br /> \\ & \<br /> (4\cdot (1-2\cdot cos(7\cdot x1)+2\cdot cos(7\cdot x2)-2\cdot cos(7\cdot x3)))/(7\cdot Pi) = 0;<br /> \end{cases}$ Рассмотрим один из подходов к его решению. Произведём следующие замены: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? cos(x1)=x1;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? cos(x2)=x2;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? cos(x3)=x3$ , и система уравнений примет следующий вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \<br /> 4-8\cdot x1+8\cdot x2-8\cdot x3-Pi\cdot x4 = 0;<br /> \\ & \<br /> 4/5-(128/5) \cdot x1^5+32\cdot x1^3-8\cdot x1+(128/5) \cdot x2^5-32\cdot x2^3+8\cdot x2-(128/5) \cdot x3^5+32\cdot x3^3-8\cdot x3 = 0;<br /> \\ & \<br /> 4/7-(512/7) \cdot x1^7+128\cdot x1^5-64\cdot x1^3+8\cdot x1+(512/7) \cdot x2^7-128\cdot x2^5+64\cdot x2^3-8\cdot x2-(512/7) \cdot x3^7+128\cdot x3^5-64\cdot x3^3+8\cdot x3 = 0;<br /> \end{cases}$ Это система уже алгебраических уравнений, и при числе переменных, равным числу уравнений, с ней численно может справиться пакет компьютерной алгебры, например, Maple на основе базисов Грёбнера. У системы 4 переменные и 3 уравнения, эта система описывает кривую в пространстве 4d. Попробуем найти точку(и) на этой кривой, чтобы применить метод Драгилева. От фонаря добавим к этой системы уравнение плоскости: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x1+x2+x3+x4 = 0;$ Это очень простое уравнение, и есть большая вероятность, что плоскость пересечёт кривую в пространстве 4d. И на самом деле, Maple находит 43 решения – это 43 точки, которые лежат на этой кривой. Построим часть кривой, например, от одного из этих решений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (0.07191, 0.10163, 0.98446, -1.15800)$ , тогда точка на кривой будет: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x01 = arccos(0.07191);$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x02 := arccos(0.10163);$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x03 := arccos(0.98446);$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x04 := -1.15800;$ На наше видимое пространство выведем проекции подмножества найденных решений системы, что есть часть всей кривой. Количество проекций равно числу сочетаний 3 переменных из 4, то есть 4 проекции. Формально должно быть 4 отдельных графика с соответствующими осями, но чтобы не занимать много места, показываем их вместе на одной картинке. Решение периодическое. Мы не ставим задачу подробного исследования решения системы, а просто показываем подход, на основе которого такую задачу вполне возможно осуществить. Напомним, это реальный пример из жизни. 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	19.09.2019, 20:01 [ТС]	30
	Кстати, метод Драгилева сам для себя находит от 8 точек непосредственно в самой исходной системе при добавлении в неё того же уравнения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x1+x2+x3+x4 = 0;$ , То есть, безо всякого матпакета и базисов Грёбнера. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \<br /> (4\cdot (1-2\cdot cos(x1)+2\cdot cos(x2)-2\cdot cos(x3)))/Pi-x4 = 0; <br /> \\ & \<br /> (4\cdot (1-2\cdot cos(5\cdot x1)+2\cdot cos(5\cdot x2)-2\cdot cos(5\cdot x3)))/(5\cdot Pi) = 0; <br /> \\ & \<br /> (4\cdot (1-2\cdot cos(7\cdot x1)+2\cdot cos(7\cdot x2)-2\cdot cos(7\cdot x3)))/(7\cdot Pi) = 0;<br /> \\ & \<br /> x1+x2+x3+x4 = 0;<br /> \end{cases}$ Начальные точки: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x01 = 1.;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x02 = 1.;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x03 = 1.;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x04 = 1.;$ Находится 8 точек при интервале интегрирования -1 … 1. 1

	07.03.2020, 20:49

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	05.11.2019, 19:42 [ТС]	31
	Не так давно на одном из довольно-таки известных в мире форумов появился вопрос, связанный с кинематикой миксера в среде MapleSim. На вопрос ответа не последовало, были лишь комментарии. Нашлось время попробовать решить задачу, правда, об оформлении речь пока не идёт. Механизм имеет одну степень свободы, что в лоб соответствует решению системы из 11 полиномиальных уравнений с 12 переменными. 12 переменных это координаты 4-х точек – на рисунке концы красных отрезков. Можно обсудить как предлагаемую мат модель, так и её решение. 1

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	16.11.2019, 23:14 [ТС]	32
	Сообщение от one man Можно обсудить как предлагаемую мат модель, так и её решение. Математическая модель Schatz механизма (миксера) в более приличном виде. Правая вертикальная ось задаёт равномерное вращение, захваты плоско соединены с осями. Видно, как левая ось совершает неравномерное вращение при равномерном вращении правой оси. Все вычисления на основе метода А.В. Драгилева. 1

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	28.12.2019, 15:27 [ТС]	33
	В МГУ возникла тема с таким названием: ”Задача по касанию вершинами треугольника трех сфер”. Оказалось, речь идёт о платформе с тремя степенями свободы. Поскольку платформа отечественная, то никакого управления параметрами, – в данном случае это, скорее всего, сферические углы, – не предусмотрено. Выяснилось всё это не сразу, не очень просто и не до конца. Но связано с нашей космонавтикой. Интересно, как ребята приспособились с этой платформой работать. На платформу они наварили тетраэдр, соединив его вершину с помощью шарнира с шатуном, который совершает плоские колебания в ZoX. То есть, они из трёх исходных хаотичных степеней свободы получили одну степень свободы. Легко посчитать. Сначала у нас три вершины равностороннего треугольника, каждая из вершин лежит на поверхности одной из трёх сфер. Радиусы сфер равны между собой, центры сфер равноудалены друг от друга, от центра координат и лежат в плоскости, параллельной XoY. Итого: три точки это 9 степеней свободы. Отнимаем от 9 число расстояний между точками: 9-3=6. Теперь от 6 отнимаем условие, что точки всё время находятся на поверхностях сфер: 6-3=3. Это и есть три неуправляемые степени свободы исходной платформы. Добавляя к ним новую точку (вершина тетраэдра), получаем 3+3=6 степеней свободы. Вычитаем из 6 условия фиксированных расстояний новой точки от вершин треугольника: 6 - 3=3, ещё вычитаем условия, что точка находится на шатуне, который качается плоско: 3 - 2=1. В итоге у нас четыре подвижные точки, это 12 переменных, и 11 связей между ними, что соответствует решению полиномиальной системы 11 уравнений с 12 переменными. Если бы платформа была управляемой, то мы довольно легко могли накладывать любые ограничения виртуально, точнее, математически. Задавать нужные виды движения, исходя как из геометрических, так и из кинематических её возможностей. После этого автоматически вычислять значения входных параметров и уже непосредственно управлять реальным движением платформы. Например, будь эта платформа управляемой, мы могли бы прицепить шатун и приварить тетраэдр виртуально, получив точно такое же движение платформы в реальности без шатуна и тетраэдра физических. 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	29.12.2019, 20:59 [ТС]	34
	Поменяли условие движения шатуна в плоскости XoZ на условие параллельности его движения плоскости XoY (замена одного уравнения в системе другим уравнением) и увеличили длину шатуна. Просто в качестве дополнительного примера, как можно математическим путём управлять неуправляемой платформой. Да, это всё может метод Драгилева. 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	08.01.2020, 15:14 [ТС]	35
	Ещё вариант движения платформы. Шатун движется в плоскости, заданной последним уравнением системы. (Думается, его вполне можно сделать кривошипом, если слегка изменить конструкцию платформы.) Вот, какое разнообразие движений у простой схемы. Можно сократить количество переменных, выразив координаты вершины пирамиды (x10, x11, x12) через координаты точек основания. Тогда все те же самые траектории будут описываться системами из 8 уравнений с 9-ю переменными. На этот раз не поленился и выписал систему: 12 переменных и 11 уравнений. (x1,x2,x3), (x4,x5,x6), (x7,x8,x9) – координаты вершин треугольника. То есть, по сути, система очень простая. Первые 10 уравнений соответствуют расстояниям между точками, а последнее уравнение задаёт плоскость движения. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ (x1 - 0)^2 + (x2 - 1.4)^2 + (x3 + 4)^2 - 2^2 = 0; \\ <br /> & \ (x4 - 1.4\cdot cos(Pi/6))^2 + (x5 + 1.4\cdot sin(Pi/6))^2 + (x6 + 4)^2 - 2^2 = 0;\\ <br /> & \ (x7 + 1.4\cdot cos(Pi/6))^2 + (x8 + 1.4\cdot sin(Pi/6))^2 + (x9 + 4)^2 - 2^2 = 0;\\ <br /> & \ (x10 - 0)^2 + (x11 - 0)^2 + (x12 - 2)^2 - 1^2 = 0; \\ <br /> & \ (x4 - x1)^2 + (x5 - x2)^2 + (x6 - x3)^2 - 2.38^2 = 0; \\ <br /> & \ (x7 - x1)^2 + (x8 - x2)^2 + (x9 - x3)^2 - 2.38^2 = 0; \\ <br /> & \ (x7 - x4)^2 + (x8 - x5)^2 + (x9 - x6)^2 - 2.38^2 = 0; \\ <br /> & \ (x10 - x1)^2 + (x11 - x2)^2 + (x12 - x3)^2 - 6^2 = 0; \\ <br /> & \ (x10 - x4)^2 + (x11 - x5)^2 + (x12 - x6)^2 - 6^2 = 0; \\ <br /> & \ (x10 - x7)^2 + (x11 - x8)^2 + (x12 - x9)^2 - 6^2 = 0; \\ <br /> & \ x10 - 0.125\cdot x12 = 0; \end{cases}$ На картинках показано одно из решений системы под разными углами. Метод Драгилева. 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	22.01.2020, 22:53 [ТС]	36
	Такая простоя мат модель, как система уравнений, позволяет автоматически на основе непрерывных зависимостей вносить изменения в виртуальную конструкцию. Добавим в систему ещё несколько переменных. Пусть это будет координата по оси oZ точки крепления кривошипа x13, длина кривошипа x14, расстояния от конца кривошипа до точек основания платформы x15. И немного повернём плоскость вращения кривошипа. Число переменных системы дошло до 15, а уравнений осталось 11. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} & \ (x1 - 0)^2 + (x2 - 1.4)^2 + (x3 + 4)^2 - 2^2 = 0; \\ <br /> & \ (x4 - 1.4\cdot cos(Pi/6))^2 + (x5 + 1.4\cdot sin(Pi/6))^2 + (x6 + 4)^2 - 2^2 = 0;\\ <br /> & \ (x7 + 1.4\cdot cos(Pi/6))^2 + (x8 + 1.4\cdot sin(Pi/6))^2 + (x9 + 4)^2 - 2^2 = 0;\\ <br /> & \ (x10 - 0)^2 + (x11 - 0)^2 + (x12 - x13)^2 - x14^2 = 0; \\ <br /> & \ (x4 - x1)^2 + (x5 - x2)^2 + (x6 - x3)^2 - 2.38^2 = 0; \\ <br /> & \ (x7 - x1)^2 + (x8 - x2)^2 + (x9 - x3)^2 - 2.38^2 = 0; \\ <br /> & \ (x7 - x4)^2 + (x8 - x5)^2 + (x9 - x6)^2 - 2.38^2 = 0; \\ <br /> & \ (x10 - x1)^2 + (x11 - x2)^2 + (x12 - x3)^2-x15^2 = 0; \\ <br /> & \ (x10 - x4)^2 + (x11 - x5)^2 + (x12 - x6)^2-x15^2 = 0; \\ <br /> & \ (x10 - x7)^2 + (x11 - x8)^2 + (x12 - x9)^2-x15^2 = 0; \\ <br /> & \ x10 = 0; \end{cases}$ Решая эту систему, можно получить несколько другой вид устройства платформы, при этом схема остаётся прежней. Мы не меняли размеры треугольника, но сместили точку крепления кривошипа, изменили длину 3-х рёбер пирамиды и длину самого кривошипа. Таких вариантов бесконечное множество. При этом могут возникать другие схемы движения, которые не имеют непрерывного перехода между собой. В ТММ это, кажется, называется сборками, что отвечает несвязным множествам решений системы уравнений. С помощью метода Драгилева можно совершать переход между несвязными участками, но это уже сильно зависит от удачного начала поиска – от начальной точки. Зато метод Драгилева способен находить всё связное множество. Миниатюры 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	23.01.2020, 18:46 [ТС]	37
	Сообщение от one man При этом могут возникать другие схемы движения, которые не имеют непрерывного перехода между собой. В ТММ это, кажется, называется сборками, что отвечает несвязным множествам решений системы уравнений. Эта картинка тоже является решением абсолютно той же самой системы уравнений, что и картинка из предыдущего сообщения. (В сообщениях по одной картинке, просто одна картинка под двумя разными углами.) Каждое из этих двух решений находится в своём подмножестве решений системы, но это несвязные подмножества. Поэтому не может быть перехода между движениями платформы на картинках в двух последних сообщениях. То есть, в реальности движение платформы из предыдущего сообщения не может перейти в движение платформы из данного сообщения, чтобы предварительно не претерпеть разборку или поломку конструкции. 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	04.02.2020, 23:20 [ТС]	38
	Пример мат модели, но уже управляемой платформы с 6-ю степенями свободы. И вид сверху Треугольник как твёрдое тело, значит, это 6 степеней свободы. Система для 9 координат из трёх уравнений жёстких связей между точками – это стороны треугольника. И задаём какую-либо траекторию движения вершин треугольника, добавляя тем самым уравнения к системе. Три вращающиеся стойки переменной длины. Выходит, что это задача обратной кинематики для платформы такой вот конструкции. А если взять известную платформу Стюарта, то она может и не воспроизвести подобную траекторию. Но чтобы не гадать, сможет или не сможет, всё это проверяется на мат модели, потому что мат модель изначально не привязана ни к какой конструкции. Проверить можно как визуально, так и путём контрольных вставок в программу. (Проверить можно, например, на допустимые углы наклона стоек, на возможное пересечение стоек, на длину их выдвижения…) (Объединить бы с предыдущим сообщением, и можно, наверно, завершить с платформами.) Условие движения платформы параллельно какой-нибудь плоскости задаётся двумя уравнениями в системе уравнений. В случае плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?XoY$ это уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x3=x6$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x3=x9$ (или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x6=x9$ ), где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x3, x6, x9$ координаты точек треугольника по оси $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?oZ$ . 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	21.02.2020, 22:44 [ТС]	39
	Если левые части уравнений поверхностей неявного вида умножить друг на друга и приравнять 0, то полученное таким образом уравнение одновременно задаёт множество всех точек этих поверхностей. Пример. Точка некой подвижной конструкции лежит на одной из трёх поверхностей, заданных неявно. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? fi(x,y,z)=0; i=1..3$ , новая поверхность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F(x,y,z)=f1\cdot f2\cdot f3=0;$ 0

@one man 222 / 312 / 55 Регистрация: 09.06.2015 Сообщений: 1,182
	07.03.2020, 20:49 [ТС]	40
	Работу метода довольно просто представить геометрически. В случае 2d, когда у нас одно уравнение и две переменные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F(x,y) = 0$ , решением является линия, эта линия строится с помощью касательных. Касательная к линии перпендикулярна нормали в текущей точке. Градиент $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F(x,y) = 0$ , это вектор с координатами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (\frac{\partial F}{\partial x }, \frac{\partial F}{\partial y } )$ . В каждой точке он определяет вектор нормали к линии. Условие перпендикулярности вектору нормали в точке это полный дифференциал функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F(x,y) = 0$ , то есть это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial F}{\partial x }\cdot dx + \frac{\partial F}{\partial y }\cdot dy =0$ . А отсюда уравнение касательной к линии в текущей точке (x0,y0): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial F}{\partial x }(x0,y0)\cdot (x0-x) + \frac{\partial F}{\partial y }(x0,y0)\cdot (y0-y) =0$ В пространстве Nd всё происходит аналогичным образом. Только линия в этом пространстве является линией пересечения поверхностей, и мы решаем систему не с одним уравнением, а с числом уравнений (поверхностей) N-1. Полные дифференциалы задают касательные плоскости, пересечение касательных плоскостей есть касательная прямая ко всем поверхностям одновременно, с помощью касательной мы строим линию в пространстве Nd. 0