Есть ещё одно направление, о котором не было упомянуто в теме. Это уравнения Пфаффа (Пфа́ффово уравнение). (Кто заметил, работая с методом Драгилева, мы решаем уравнения Пфаффа.) Получается, метод Драгилева может применяться и для решения непосредственно уравнений Пфаффа. Как правило, численно.
Много лет назад, когда ещё функционировал математический форум сайта экспоненты, там обсуждались эти вопросы. И, помню, было много примеров на Pascal-е и на Mathcad-е.

0

Удалось, как мне кажется, подобрать простой и наглядный пример, когда входное и выходное звено рычажного механизма очень легко меняются местами. Понятно, практически никто не будет заглядывать в упомянутые в теме работы, тем более не будет разбирать применение метода для расчёта кинематики рычажных механизмов, но, думаю, представить, как получить кинематику из одной лишь системы нелинейных уравнений (в данном случае полиномиальных) хоть кому-нибудь да будет интересно. В механизме два кривошипа и один шатун, данный механизм, по правилам ТММ, называется четырёхзвенным. Два варианта, когда входное звено (один из кривошипов) вращается равномерно. Система уравнений в обоих случаях одна и та же. И она очень простая: фиксированные расстояния между точками и плоскости вращения кривошипов - всего 5 уравнений и 6 переменных. (Нормальный вид у картинок, естественно, только по клику. )

И дополнительная неподвижная картинка, чтобы было понятнее взаимное положение плоскостей вращения кривошипов.

0

Или вот пример из темы компьютерных рисунков. Механизм аналогичный, но система уравнений уже не полиномиальная, а трансцендентная. У входного кривошипа радиус переменной длины, его угловая скорость постоянна в плоскости X1oX3 .

0

Хотелось бы отметить пакет Direct search для Maple Сергея Моисеева. Автор по просьбе пользователей расширил пакет удобной процедурой непосредственно для решения систем нелинейных уравнений. Эта процедура один из самых мощных инструментов численного решения систем с конечным множеством и со счётным множеством решений. Надо признать, метод Драгилева несколько уступает именно в этом плане.

0

Сегодня впервые попробовал применить Метод к решению простеньких уравнений в целых числах. Взял два примера, от которых отказался Maple со своей соответствующей такому случаю функцией isolve
Первый пример
. его решение (-10, 1), (11, 1), (10, -1).
Второй пример
, его решение (-86, -18), (-60, -14), (-6, -2), (-4, 0), (-2, 2), (4, 0).
Насчёт второго примера не уверен, что это все его целые решения, потому что с теорией не знаком.

Пока кажется, что не должно быть ограничений на количество переменных и уравнений. В пределах возможностей техники, конечно.

0

Сообщение от one man Насчёт второго примера не уверен, что это все его целые решения, потому что с теорией не знаком.

На самом деле, решений нашлось ещё, то есть дополнительно к

Сообщение от one man (-86, -18), (-60, -14), (-6, -2), (-4, 0), (-2, 2), (4, 0).

были найдены (4, -2), (46, -14), (68, -18).
Время от времени экспериментирую с программкой. Хотя считает очень быстро (где-то секунды), но ещё далеко не все моменты опробованы.

0

Проверил в 3d. На сечении поверхности

плоскостью
обнаружились целые решения:
(-33, 195, -66), ( -3, 3, -6), ( -1, 3, -2), ( 0, 3, 0), (0, -3, 0), (-1, -2, -2), (-3, 0, -6), (-33, -162, -66).
Ещё есть успешный пример с эллипсоидом.

Можно сказать, что метод Драгилева вполне нормально может работать и c диофантовыми уравнениями. Наверное, это ожидаемо, потому что в этих уравнениях присутствуют свободные переменные.

0

Пример:

Решение в целых числах: (-8, 10), (1, 1000), (3, 1000), (12, 10), (12, -10), (3, -1000), (1, -1000), (-8, -10).
Картинка с решениями:

Идея проста и прозрачна. На вещественном наборе точек интегральной кривой мы с помощью программного округления ищем точки с целыми значениями координат. Если такая точка отвечает уравнению(ям), то она является диофантовым решением. То есть, перебором точек координатной сетки мы не занимаемся, но и пропустить тоже невозможно.
Текст программы на форуме MaolePrimes.
Кстати, судя по угрюмому молчанию, тамошняя тусовка идею не оценила. Не знаю, а мне понравилось решать таким способом разнообразные примерчики на целые значения. Получается очень легко и очень быстро.

1

Что касается этого, ранее представленного примера диофантового уравнения , то в процессе оптимизации программы слегка изменилось множество найденных решений:
(-33284, -1024), (-86, -18), (-60, -14), (-6, -2), (-4, 0), (-2, 2), (4, 0), (4, -2), (46, -14), (68, -18), (32260, -1024).
Время счёта буквально секунды.

0

Целые решения на эллипсоиде:

0

Сегодняшняя тренировка была посвящена сферам с целочисленными радиусами.
Пример расположения диофантовых решений на сфере радиуса 101.



Ещё аналогичных примеров есть в теме про компьютерные рисунки.

0

И ещё два примера на целые решения: у первой сферы радиус 111, у второй 110.

0

Пример из Вики.
Сразу находим все целые решения (и там же искомые натуральные):
15, 181; 7, 11; 5, 5; 4, 3; 3, 1; 3, -1; 4, -3; 5, -5; 7, -11; 15, -181;
Потому что все они лежат на одной непрерывной кривой:

0

Вот, а ещё в той статье ошибка. Пишут, что одно из решений уравнения
(6,129), а на самом деле (6,29). Понятно, скорее всего, опечатка, но всё-таки.
Все целые решения (12 штук) ищутся аналогично:

0

За новое направление в применении метода Драгилева получил хорошую кучку лайков на MaplePrimes, видимо, потихоньку дошло. На самом деле, если хорошо поискать, то и не найти более простого и универсального подхода к решению уравнений в целых числах.
Ещё есть задачи на целые приближения. Исходя из уже существующего алгоритма, представить, как реализовать и такие варианты, становится очевидным.

0

Надо признать, при поиске пифагоровых троек процедура Maple isolve по скорости затмевает предложенную идею . Правда, кроме этой и совсем уж очевидных, никаких других задач она не решает.
На пифагоровых тройках Метод протестирован с помощью этой самой isolve до гипотенузы 6 порядка, и не пропустил ни одного решения.

0

Обнаружился очень простой и надёжный способ задавать функциональную зависимость переменных от длины кривой.
Если в методе Драгилева мы решаем однородное линейное уравнение относительно производных, при этом число уравнений на 1 меньше числа переменных, то можно получить практически то же самое путём добавления условия натуральной параметризации. В 3d это
И тогда размерность системы уравнений (относительно производных) становится NxN, и ещё система превращается из линейной в нелинейную, но при этом остаётся алгебраической и довольно простой. Система легко решается, и мы получаем практически такую же автономную систему дифференциальных уравнений, как и в методе Драгилева. Почему практически? Потому что Метод способен работать, например, без дополнительных ограничений. И поэтому его возможности намного шире. (Кому интересно, может проверить это на большинстве здешних примеров.) Но что касается решения непосредственно систем нелинейных уравнений, то такой способ, как добавление уравнения натуральной параметризации, кажется много понятнее и гораздо проще в реализации.

0

Сообщение от one man Но что касается решения непосредственно систем нелинейных уравнений, то такой способ, как добавление уравнения натуральной параметризации, кажется много понятнее и гораздо проще в реализации.

Как оказалось, не так всё просто. Уравнение нормирования, уже начиная с 6d, подвешивает Maple. На всякий случай предложил на их форуме решить вспомогательную систему 8x8 в общем виде, (7 уравнений линейные и однородные, а 8-е эта самая натуральная параметризация) и никто не откликнулся, потому что нереально, и показал, что тот же самый случай мгновенно реализуется при отсутствии 8-о уравнения, причём с соответствующей 8d нормировкой. Это и есть одна из основ метода Драгилева.
Имеются примеры в 15d на стареньком PC в исполнении такой же старенькой версии Maple17.

0

Есть такая задача: найти на двух кривых все пары точек, расстояние между которыми равно S.
Как вариант, все такие точки на одной кривой.
И ещё вариант задачи. Расстояние можно измерять непосредственно по самой кривой.
Два примера пар точек, расстояние между которыми по кривой равно 1. Это точки красного цвета.



Пример с плоской кривой.

0

Пример с зубчиками.
Все пары точек, расстояние между которыми по этой линии равно 1.



Ничего нового, чего бы ранее не было в теме и в ссылках, в последних двух сообщениях нет.
Просто навеяно примерами, когда расстояние между точками ищется как кратчайшее в данном пространстве.

0