И пример.



Геометрическое представление метода Драгилева решения системы двух уравнений с тремя переменными или пересечение “квадратной” сферы с гиперболоидом.




Вдоль линии пересечения поверхностей показаны две плоскости, касательные к этим поверхностям. Плоскости пересекаются по прямой, которая в каждой точке линии касается обеих поверхностей одновременно. Касательная прямая представлена своим (синим) вектором. Также этот вектор может быть получен как векторное произведение нормалей к поверхностям. Нормали к поверхностям тоже показаны на рисунке.

0

Аналогичный пример геометрического представления работы метода. Пересекаются сфера и неявная трансцендентная поверхность, или ищется решение системы уравнений:



Касательные плоскости к поверхностям в данном случае не представлены, чтобы не нагромождать.
В какой-либо начальной точке линии мы строим нормали к поверхностям (на рисунке цвет поверхности и нормали к ней совпадают). Из вектора векторного произведения нормалей мы берём направление (стрелка белого цвета), откладываем вдоль этого направления новую точку на расстоянии h от первой точки и принимаем её за очередную точку на линии. И таким образом строим всю линию пересечения.



Будь у нас возможность представлять себе пространства бОльших размерностей, мы могли бы увидеть такое же геометрическое объяснение работы метода Драгилева в этих пространствах. В какой-то степени примерами работы метода в пространствах размерности >3 могут служить мат модели рычажных механизмов и манипуляторов. И на соответствующих картинках мы видим проекции всех переменных на наше обычное 3d, там же можем показать поверхности, нормали к ним, касательные плоскости и линии пересечения поверхностей. Но на самом деле это будут проекции. Например, окружность, заданная параметрически, в 3d является спиралью, – два уравнения и три переменные, – а на плоскости это обычная окружность, то есть проекция. Сфера, заданная параметрически, это вариант проекции из 5d на 3d.

Пример параметризации неявно заданной поверхности:





Участок поверхности посечён параллельными плоскостями, на линиях пересечения выбраны точки с одинаковым шагом, и таким образом поверхность заменяется сеткой. Объединяя узлы сетки в какой-нибудь последовательности, мы имеем возможность работать с любым участком поверхности. Например, вырезать кусок, превратив его в часть эквидистанты к данной поверхности.

Если надо, чтобы вырез на поверхности был круглым, то поверхность лучше посечь соответствующими поверхностями.
Пример: та же самая поверхность, но параметризованная на основе концентрических прямых круговых цилиндров.



Тексты на Maple с примерами вырезания частей поверхности. Вырезанная часть расположена на эквидистанте к исходной поверхности над соответствующей себе дырке и окрашена в зелёный цвет.
HOLE 1.7z
HOLE 2.7z

0

Чтобы получить полиномиальное уравнение эллипса, надо избавиться от радикалов.
Например, трёхфокусный эллипс, у которого фокусы в точках
и постоянная сумма
расстояний до фокусов 5.2 Уравнение без радикалов выглядит так



Графиком этого уравнения является линия с точками разрыва, которые похожи
на точки самопересечения.

Видим, что только один участок линии не имеет точек разрыва и он замкнутый.
Найдём участок линии, который соответствует условию задачи. Будем перемещаться
по участкам линии и смотреть на сумму расстояний текущей точки на линии до фокусов.
На рисунке сначала три расстояния, а потом их сумма.
Внутренний выпуклый замкнутый участок соответствует условию.

Очевидно, стальная часть линии не является решением. Но там есть отдельные
участки с какими-то постоянными на них суммами расстояний до фокусов.

0

Ещё раз про возможности метода Драгилева применительно к кинематическому анализу рычажных механизмов.
Рассмотрим очень простую плоскую кривошипно-шатунную модель. Единственное, не все рассматриваемые виды её кинематического анализа доступны методам ТММ.
Кривошип и шатун соединены в точке, лежащей на линии,
,
ползун перемещается по оси oX.
Первый вариант: кривошип вращается равномерно, скорости и ускорения всех точек вычисляются исходя из этого.

Второй вариант: ползун является входным звеном, он движется равномерно.

Третий вариант: входным звеном теперь будет шатун, его точка (в данном случае зелёная для удобного её отслеживания), принадлежащая линии, движется равномерно по линии. Скорость вращения и ускорения кривошипа, скорость движения и ускорение ползуна рассчитываются.

Разбирающиеся в ТММ и просто все желающие могут попробовать добиться подобного расчёта в любой доступной им среде (ещё, например, можно обратиться за советом на dxdy). Механизм плоский, очень плоский.

0

Кривошипно-шатунный механизм, реализующий довольно продолжительную псевдо остановку в движении ползуна.
Уравнение траектории движения левой точки шатуна это окружность
,
центр вращения кривошипа совпадает с центром координат. Кривошип вращается равномерно. Длина шатуна 1.
Пример решён численно методом Драгилева на основе универсального подхода, как примеры в предыдущем сообщении. То есть, с практической точки зрения все эти примеры решаются одинаково. Несомненно, конкретно у данного примера есть и аналитический способ решения, потому что связи простые, а механизм плоский. Думаю, при желании кому-нибудь захочется повозиться с аналитическим решением.

0

Рассмотрим подход к решению такого уравнения:

(Вид функции в уравнении взят из примера расчёта собственных частот поперечных колебаний упругой балки.)
График решения уравнения выглядит примерно так:

Добавив к исходному уравнению уравнение , найдем точки на всех возможных частях линии, которые расположены в 1-м и в 3-м квадранте, например, от начальной точки (1,1).

Аналогично поступим со 2-м и с 4-м квадрантом с помощью уравнения .
На следующем этапе используем найденные точки как начальные, каждую для своего участка линии. Для этого мы задействуем исходное уравнение.
Пример 37-о участка линии, который расположен в 3-м квадранте.

0

Возможно, это повтор. В статье в Википедии “Численное решение уравнений” дана ссылка на работу Роберта Лопеса, посвящённая методу Драгилева.
Говорят, описание Лопеса самое доступное для понимания. Именно поэтому посвящаю ему отдельное сообщение.
(Если что, автор не по своей вине пишет Dragilev, хотя по-английски, чтобы соответствовать русскому произношению, вроде бы, надо писать Draghilev)

0

Сообщение от one man А если взять известную платформу Стюарта

То вот пример,

когда она в точности воспроизводит движение неуправляемой платформы с вертикальным кривошипом
https://www.cyberforum.ru/atta... 579722550t

0

Сотрудник института им. В.А. Стеклова Николай Андреев рассказывает о рычажных механизмах. Из этого можно сделать вывод, что рычажные механизмы каким-то образом связаны с математикой и, похоже, представляют для неё интерес.
При желании можно ознакомиться с универсальным методом кинематического анализа пространственных и плоских рычажных механизмов на основе метода А.В. Драгилева.

0

Сообщение от one man Рассмотрим пример самого простого двухзвенного 3d манипулятора.

Трёхзвенный манипулятор с 5-ю степенями свободы, похоже, самый распространённый вид манипулятора. Его последнее звено (с рабочей точкой) геометрически соответствует радиусу сферы, как и первое звено. Получается два раза по две степени свободы за счёт первого и второго звеньев, и одна степень свободы от второго звена. Три звена – пять степеней свободы. Получается, у мат модели такого манипулятора как системы алгебраических уравнений будет 9 переменных, а уравнений связи только 4. При решении обратной задачи кинематики у нас имеется траектория рабочей точки, а это ещё 2 дополнительных уравнения. Например, если траектория это отрезок прямой, то условие принадлежности отрезку может быть записано через принадлежность рабочей точки одновременно двум плоскостям. Тогда для решения обратной задачи кинематики требуются ещё 2 уравнения. Вот, а эти два недостающих уравнения можно получить искусственно, другими словами, как бы придумать дополнительные ограничения. Очень простым в исполнении ограничением может стать условие перпендикулярности последнего звена манипулятора этому отрезку прямой. А ещё одним ограничением пусть будет постоянный угол с какой-нибудь осью координат. Это просто варианты ограничений для получения однозначной траектории манипулятора. Всё, набралось 8 уравнений для 9 переменных.

Поскольку движение по отрезкам прямой заменяет собой движение по любой пространственной траектории, то решение обратной задачи кинематики манипулятора сводится к решению движения по ломаной – последовательному набору отрезков. А это, как видим, довольно простая задача. Не думаю, что могут возникнуть сложности при её реализации в САПР системах, а что касается пакетов компьютерной алгебры, то это задействование стандартных функций по хелпу. Собственно, мат пакеты в данном случае вполне заменяют специализированные, даже без своих сим дополнений.

0

Картинки в качестве примера работы трёхзвенного манипулятора с 5-ю степенями свободы. Всё принципиальное отличие от примера с двухзвенным манипулятором заключается в добавлении в мат модель манипулятора 2-х искусственных уравнений. Множество таких уравнений для каждого конкретного случая бесконечно, лишь бы эти уравнения соответствовали рабочим возможностям устройства. В данном случае это самые простые из пришедших в голову уравнений: условие перпендикулярности последнего звена самому отрезку траектории (второй рис., красный цвет) и одновременная перпендикулярность последнего звена вектору, у которого координаты равны между собой (третий рис., чёрный цвет).

Это и есть решение задачи обратной кинематики трёхзвенного манипулятора с пятью степенями свободы. Такой же подход работает для любого числа степеней свободы. По сути, мы как бы математически сводим работу манипулятора к работе рычажного механизма с одной степенью свободы.

0

Сообщение от one man Множество таких уравнений для каждого конкретного случая бесконечно, лишь бы эти уравнения соответствовали рабочим возможностям устройства.

Два примера, когда третье звено одновременно перпендикулярно осям ox1, ox2, это в первом примере, и осям ox1, ox3 – во втором. Тот же самый манипулятор с тем же отрезком траектории.

Поражает обилие работ на темы типа “инверсная кинематика”, “обратная задача кинематики”... Но, как видим, достаточно ознакомиться с методом Драгилева, чтобы спокойно решать такие задачи, не забивая голову кучей притянутых за уши или напридуманных малосодержательных сущностей. Мало того, эти задачи можно легко решать и без метода Драгилева, надо хотя бы на примитивном уровне научиться пользоваться функциями тех пакетов компьютерной алгебры, которые способны находить полное решение систем полиномиальных уравнений на основе базисов Грёбнера.

0

Сообщение от one man эти задачи можно легко решать и без метода Драгилева, надо хотя бы на примитивном уровне научиться пользоваться функциями тех пакетов компьютерной алгебры, которые способны находить полное решение систем полиномиальных уравнений на основе базисов Грёбнера.

Если немного в сторону от названия темы, то, на самом деле, аналогичные результаты получаются и без метода Драгилева.

0

Сообщение от one man Кому интересно, то подробнее и с текстом выложу скоро на форуме MaplePrimes

Готово.

0

Метод Драгилева всё-таки работает чётче. Это видно на примере отрезка с концами [0.5, 1, 1.5], [-1, 0, 1].
Если прозевать решение на основе базисов Грёбнера и дополнительно не разбить отрезок на части, то может возникнуть формально возможная, но в реальности вряд ли допустимая дискретность , чего не происходит при применении метода Драгилева.

0

Сейчас мат модель как система уравнений содержит так называемые “обобщённые координаты”. Этими координатами в единственном числе является длина последнего звена, то есть как бы одна “обобщённая координата” и 9 обычных координат как координат 3-х подвижных точек концов звеньев. Мы, таким образом, добавили степень свободы манипулятору, и теперь у него их 6, одна из которых это длина последнего звена. Увеличилась размерность системы уравнений, была 8x9, стала 9x10 и, наверно, возросли возможности манипулятора. Но на формальной стороне решения новой системы это не отразилось.

0

Система

Введем новую переменную
Так же введем начальное приближение

Получается

Значит

Итого система получает вид:

Далее Дифференцируем

Поиск определителей

Добавлено через 12 минут



Добавлено через 14 минут



Добавлено через 6 минут


Добавлено через 34 минуты



Добавлено через 5 минут


Добавлено через 30 минут
Итого имеем систему ДУ

С начальными условиями

Решать буду в Mathcad

1

Уважаемый YanLunNikita
зачем так сложно решать? Начните так. Перекинув числовые значения уравнений в правую часть, возведём оба уравнения в квадрат и сложим. Получим
и
(систему достаточно решить на интервале (0; 2pi))
подствьте значение фи1 в любое уравнение и решите его любым способом как уравнение от одной переменной.

2

wer1, ну это пример просто для того, чтоб разобраться в методе. Вашим методом я систему решил уже, даже код на с++ есть

1

Сообщение от YanLunNikita чтоб разобраться в методе

Ваш пример не подпадает под рассматриваемый метод, потому что он предназначен для решения одного уравнения f(x,y)=0, а у Вас уже система двух таких уравнений, которая уже не даёт непрерывное множество решений для точек с координатами (x;y) в виде траектории.

0