Уравнения Бернулли

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 11:01

Показов 2095 Комментарии 6

Метки math, дифуры, математика

Ряд уравнений

Метки math, дифуры, математика

Размещено в Дифференциальные уравнения

« Электричество и магнетизм Главная страница Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель »

Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.

Всего комментариев 6

Комментарии

1.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'-\frac{y}{x}=\sqrt{xy}\cdot tg^2{x}$

Делим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{y}$ и получаем уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y'}{\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{y}}{x}=\sqrt{x}\cdot tg^2{x}$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \sqrt{y}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = \frac{y'}{2\sqrt{y}}$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2z' - \frac{z}{x}=\sqrt{x}\cdot tg^2{x}$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(u'v+uv') - \frac{uv}{x}=\sqrt{x}\cdot tg^2{x} \\\left(2u'-\frac{u}{x}\right)v+2uv'=\sqrt{x}\cdot tg^2{x}$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} 2u'-\frac{u}{x}=0\\ 2uv' = \sqrt{x}\cdot tg^2{x} \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2du}{u}=\frac{dx}{x} \\2ln|u| = ln|x| \\u^2 = x \\u = \sqrt{x}$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\sqrt{x}\cdot v' = \sqrt{x}\cdot tg^2{x} \\v'=\frac{1}{2}tg^2{x} \\v=\frac{1}{2}\int tg^2{x}dx = \frac{1}{2}\int \frac{sin^2{x}}{cos^2{x}}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1-cos^2{x}}{cos^2{x}}dx = \frac{1}{2}\left(\int\frac{dx}{cos^2{x}}-\int dx\right) = \frac{1}{2}\left(tg{x}-x\right )+C$

Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = \sqrt{x}\left(\frac{tg{x}-x}{2}+C\right )=\sqrt{y}$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = z^2 = x\left(\frac{tg{x}-x}{2}+C\right )^2$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 11:56 IrineK вне форума

2.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy'-2x^2\sqrt{y}=4y$

Делим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\sqrt{y}$ и получаем уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y'}{\sqrt{y}}-2x=\frac{4\sqrt{y}}{x} \\\frac{y'}{\sqrt{y}}-\frac{4\sqrt{y}}{x}=2x$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \sqrt{y}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = \frac{y'}{2\sqrt{y}}$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2z'-\frac{4z}{x}=2x \\z'-\frac{2z}{x}=x$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'v+uv'-\frac{2uv}{x}=x$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} u'-\frac{u}{x}=0\\ uv' = x \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{du}{u}=\frac{2dx}{x} \\ln|u| = 2ln|x| \\u = x^2$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?uv'=x \\x^2v' = x \\v' = \frac{1}{x} \\v=\int \frac{dx}{x}= ln|x|+C$

Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = x^2(ln|x|+C) = \sqrt{y}$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = z^2 = x^4(ln|x|+C)^2$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 12:13 IrineK вне форума

3.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4x^3dy+(9y^3-3x^2y)dx = 0$

Делим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^3y^3$ и получаем уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{4y'}{y^3}+\frac{9}{x^3}-\frac{3}{xy^2}=0$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \frac{1}{y^2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = \frac{2y'}{y^3}$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2z'-\frac{3z}{x}+\frac{9}{x^3}= 0$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(u'v+uv')-\frac{3uv}{x}+\frac{9}{x^3}= 0 \\v\left(2u'-\frac{3u}{x} \right )+2uv'+\frac{9}{x^3} = 0$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} 2u'-\frac{3u}{x}=0\\ 2uv' = -\frac{9}{x^3} \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{du}{u}=\frac{3dx}{2x} \\ln|u| = \frac{3}{2}ln|x| \\u = x^{3/2}$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2uv'=-\frac{9}{x^3} \\2x^{3/2}v' = x \\v' = -\frac{9}{2x^{9/2}} \\v=-\frac{9}{2}\int \frac{dx}{x^{9/2}}= \frac{9}{7}\frac{1}{x^{7/2}}+C$

Откуда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = x^{3/2}\left( \frac{9}{7}\frac{1}{x^{7/2}}+C\right ) = \frac{9}{7x^2}+Cx\sqrt{x}=\frac{1}{y^2}$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y= \frac{1}{\sqrt{z}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{7x^2}+Cx\sqrt{x}}}$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 12:13 IrineK вне форума

4.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'+\frac{3y}{x}=\sqrt[3]{y^2}ln{x}$

Делим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{y^2}$ и получаем уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y'}{\sqrt[3]{y^2}}+\frac{3\sqrt[3]{y}}{x}=ln{x}$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \sqrt[3]{y}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = \frac{y'}{3\sqrt[3]{y^2}}$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3z'+\frac{3z}{x}-ln{x}=0$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3(u'v+uv')+\frac{3uv}{x}-ln{x}=0 \\v\left(3u'+\frac{3u}{x} \right )+3uv'-ln{x}=0$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} 3u'+\frac{3u}{x}=0\\ 3uv' = ln{x} \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{du}{u}=-\frac{dx}{x} \\ln|u| = -ln|x| \\u = \frac{1}{x}$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3\cdot \frac{1}{x}v'=ln{x} \\v'=\frac{1}{3}xln{x} \\v=\frac{1}{3}\int xln{x}dx=\begin{bmatrix} a=ln{x} & da=\frac{dx}{x}\\ db=xdx & b=\frac{x^2}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{3}\left(\frac{x^2ln{x}}{2}-\frac{1}{2} \int xdx\right ) = \frac{1}{3}\left(\frac{x^2ln{x}}{2}-\frac{x^2}{4}\right )+C=\frac{x^2}{12}(2ln{x}-1)+C$

Откуда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = \frac{1}{x}\left(\frac{x^2}{12}(2ln{x}-1)+C \right )=\frac{x}{12}(2ln{x}-1)+\frac{C}{x} = \sqrt[3]{y}$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = z^3 = \left(\frac{x}{12}(2ln{x}-1)+\frac{C}{x} \right )^3$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 12:56 IrineK вне форума

5.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?yy'+3y^2=x-1$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = y^2$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = 2yy'$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z'}{2}+3z=x-1$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{u'v+uv'}{2}+3uv=x-1 \\v\left(\frac{u'}{2}+3u \right )+\frac{uv'}{2}=x-1$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} \frac{u'}{2}+3u=0\\ \frac{uv'}{2}=x-1 \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{du}{u}=-\frac{3}{2}dx \\ln|u| = -\frac{3}{2}x \\u = e^{-\frac{3x}{2}}$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{e^{-\frac{3x}{2}}}{2}v' = x-1 \\v'=2e^{\frac{3x}{2}}(x-1) \\v=2\int e^{\frac{3x}{2}}(x-1)dx = \begin{bmatrix} a = x-1 & da = dx\\ db = e^{\frac{3x}{2}}dx & b = \frac{e^{\frac{3x}{2}}}{3/2} \end{bmatrix} = \frac{4}{3}\left( e^{\frac{3x}{2}}(x-1)-\int e^{\frac{3x}{2}}dx\right ) = \frac{4}{3}e^{\frac{3x}{2}}(x-1)-\frac{8}{9}e^{\frac{3x}{2}}+C$

Откуда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = e^{-\frac{3x}{2}}\left( \frac{4}{3}e^{\frac{3x}{2}}(x-1)-\frac{8}{9}e^{\frac{3x}{2}}+C\right ) = \frac{4}{3}(x-1)-\frac{8}{9}+Ce^{-\frac{3x}{2}} = \frac{4}{3}x-\frac{20}{9}+Ce^{-\frac{3x}{2}} = y^2$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = \sqrt{z} = \sqrt{\frac{4}{3}x-\frac{20}{9}+Ce^{-\frac{3x}{2}}}$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 13:18 IrineK вне форума

6.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dy+ydx=\frac{xdx}{y^3}$

Умножаем на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y^3}{dx}$ и получаем уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^3y'+y^4-x=0$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = y^4$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' =4y^3y'$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z'}{4}+z-x=0$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{u'v+uv'}{4}+uv-x=0 \\v\left(\frac{u'}{4}+u\right)+\frac{uv'}{4}-x=0$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} \frac{u'}{4}+u=0\\ \frac{uv'}{4}= x \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{du}{u}=-4dx \\ln|u| = -4x \\u = e^{-4x}$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{-4x} \frac{v'}{4}=x \\v'=4xe^{4x} \\v=4\int xe^{4x}dx =\begin{bmatrix} a=x & da=dx\\ db=e^{4x}dx & b=\frac{e^{4x}}{4} \end{bmatrix} = xe^{4x}-\int e^{4x}dx=xe^{4x}-\frac{e^{4x}}{4}+C$

Откуда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = e^{-4x}\left( xe^{4x}-\frac{e^{4x}}{4}+C\right )=x-\frac{1}{4}+Ce^{-4x}=y^4$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{x-\frac{1}{4}+Ce^{-4x}}$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 13:34 IrineK вне форума

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Jin X 06.09.2026 Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Работая с форумом и нейросетями в браузере часто хочется что-то подкорректировать или добавить какого-то функционала. Ниже прикреплён. . .	Программа опроса у.з. расходомера SLS-720F Argus19 02.09.2026 Программа опроса у. з. расходомера SLS-720F Программа опрашивает один раз в минуту три ультразвуковых расходомера SLS-720F через интерфейс RS-485 по протоколу Modbus RTU. Опрашиваются регистры. . .	Hyper-V: Компьютер должен поддерживать доверенный платформенный модуль 2.0. Maks 31.08.2026 При установке Windows 11 на виртуальную машину Hyper-V 2-го поколения вылезла такая ошибка: Решение: в параметрах виртуальной машины, в разделе "Безопасность" (Security) активировать флаг. . .	Архитектура биовида Стива в Майнкрафте: Зачем бонобо кубический каннибализм anaschu 30.08.2026 Кубический Вагинокапитализм в Minecraft: Математический инвариант ОДУ и рок Стивов-бонобо Главная задача разработанной «Модели Всего» — наглядно продемонстрировать наличие системной «судьбы». . .
Оттачиваю умение писать js программы. russiannick 30.08.2026 Проектом выходного дня стало написание Книги шифров Виженера. Итогом стала версия 200, синий туман. Синий туман назван так, потому что замораживает текст под собой. Нажатие синих кнопок управляют. . .	мат медиц модель 30. презентация проекта anaschu 27.08.2026 хоп хоп хоп хидахоп, а я кладую))	Как у меня протекала болезнь zorxor 27.08.2026 Здравствуйте, друзья! Эта запись блога предназначена именно для вас - для моих дорогих друзей, которые знали меня лично. Чтобы ответить на вопрос - а что же со мной произошло на самом деле? Я учился. . .	Нашел вот забавное видео о измерениях. Лучшее что я видел на эту тему kumehtar 26.08.2026 ILETXiw9bMQ Основная суть и тезисы по измерениям: 0D (Нулевое измерение): точка, не имеющая длины, ширины, высоты или объема. Объект не может перемещаться в 0D. 1D (Первое измерение):. . .

Сообщение форума

Отменить изменения