Локальный экстремум функции двух переменных

Запись от IrineK размещена 05.07.2014 в 16:13

Показов 1339 Комментарии 0

Метки math, математика, сильвестр

Исследовать на экстремум

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? z(x,y) = sin(x) + cos(x+y) - cos(y) $

Найдём стационарные точки функции z

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left\{\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial x} = cos(x) - sin(x+y) = 0\\ \frac{\partial z}{\partial y} = - sin(x+y) + sin(y) = 0\\ \end{matrix} $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? cos(x) = sin(y) \\sin(\frac{\pi }{2}-x) = sin(y) \\x+y = \frac{\pi }{2} $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left\{\begin{matrix} cos(x)= sin(x+y) = 1 \\ sin(y) = 1 \end{matrix} $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left\{\begin{matrix}x = 2\pi n \\ y = \frac{\pi }{2} + 2\pi n \end{matrix} $

Выполнение достаточных условий экстремума исследуем с помощью критерия Сильвестра.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -sin(x)-cos(x+y) \\\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -cos(x+y)+ cos(y) \\\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -cos(x+y) $

Но в стационарных точках все эти производные равны 0, т.е. определитель квадратичной формы также равен 0.
Необходимы дополнительные исследования.

Рассмотрим стационарную точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0, \frac{\pi }{2} )$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z(0, \frac{\pi }{2} ) = 0$

Дадим положительное приращение 0 < h < 1 по х и по у

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? z(h, \frac{\pi }{2} +h) = sin(h)+cos(\frac{\pi }{2} + 2h) - cos(\frac{\pi }{2}+h) = sin(h)-sin(2h)+sin(h) = 2sin(h)(1-cos(h)) > 0 $

Теперь дадим приращения разных знаков

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? z(h, \frac{\pi }{2} -h) = sin(h)+cos(\frac{\pi }{2}) - cos(\frac{\pi }{2}-h) = sin(h)+sin(h) = 2sin(h) > 0 $

В обоих случаях приращение функции z положительно.
Значит, в стационарных точках мы имеем минимум.

Метки math, математика, сильвестр

Размещено в Матанализ

« Почему тяжёлый камень летит дальше лёгкого Главная страница Уравнения гиперболического типа »

Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.

IrineK

Регистрация 23.02.2011
Адрес Киев
Сообщений 6,002
Записей в блоге 25

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Кредитный калькулятор Maks 05.08.2026 Решение задачи по прикладной информатике средствами 1С. Задача: Напишите приложение-калькулятор, которое помогает рассчитывать параметры кредита для аннуитетного и дифференцированного видов. . .	У нас сейчас поговорку "Опять 25" нужно переделать на "Опять +35". kumehtar 04.08.2026 С ностальгией вспоминаю времена моего детства, когда у нас и правда +25 - была максимальная температура летом. Раньше +25 °C реально казались вершиной жары, когда можно было весь день пропадать на. . .	Как ИИ начал спорить и врать (возможно почуяв опасность для себя от индустрии - уход от электроники). Hrethgir 04.08.2026 Недельный диалог, на фоне событий с НПЗ. Да, из спирта можно получать бензин, и это не сложно. Но потом в схеме я решил избавиться от насоса, при этом полностью сделав контроль подачи спирта в. . .	Термопринтер QR701 Argus19 03.08.2026 Термопринтер QR701 Купил два термопринтера QR701. На сэлф-тесте написано: Language: PC936 (GB18030). Что означает, что принтеры могут печатать только латиницу и китайские иероглифы. Так же. . .
Создание формы заимствованного документа Maks 03.08.2026 Задача: Необходимо создать собственную форму заимствованного документа. На форме должен быть реквизит "Покупатель", а также табличная часть со следующими реквизитами: - Расчетный счет покупателя. . .	Задача предоставления скидок покупателям Maks 03.08.2026 Задача: В документе "Продажи" необходимо реализовать функционал предоставления скидок покупателям. Скидка должна автоматически рассчитываться и подставляться в соответствующее поле при выборе. . .	Почему SEO не начинается с ключевых слов: что проверить до написания текстов Neotwalker 01.08.2026 Когда владельцу сайта предлагают заняться SEO, первым шагом часто становится сбор запросов и написание текстов. Логика кажется понятной: 1. Находим ключевые слова. 2. Добавляем их на. . .	Знание — сила: Доктрина интенциональности знаний, углубление в формулу Hrethgir 01.08.2026 https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11957&stc=1&d=1785567302 Знаменитый афоризм Фрэнсиса Бэкона «Знание — сила» (Scientia potentia est) в массовой культуре принято понимать. . .

Наверх

Сообщение форума

Отменить изменения