IrineK

Форум программистов и сисадминов Киберфорум

Войти

Регистрация
Восстановить пароль

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Запись от IrineK размещена 12.07.2014 в 15:37

Показов 1598 Комментарии 2

Метки math, дифуры, математика

Ряд уравнений

Метки math, дифуры, математика

Размещено в Дифференциальные уравнения

« Уравнения Бернулли Главная страница Перевод из/в любую систему исчисления от 2 до 36 »

Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.

Всего комментариев 2

Комментарии

1.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'\left ( y\sqrt{1+y^2}+x \right ) = y$

Преобразуем к виду
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ydx-\left ( y\sqrt{1+y^2}+x \right )dy = 0$

Т.е.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix} P(x,y) = y, & Q(x,y) = -\left ( y\sqrt{1+y^2}+x \right ) \end{matrix}$

При этом
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix} \frac{\partial P}{\partial y} = 1, & \frac{\partial Q}{\partial x} = -1 \end{matrix} \\\frac{\partial P}{\partial y}\neq \frac{\partial Q}{\partial x}$

Для перехода к уравнению в полных дифференциалах найдём интегрирующий множитель.
Видим, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{-\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=-\frac{2}{y} = f(y)$

Интегрирующий множитель
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu = e^{\int f(y)dy}= e^{-2\int \frac{dy}{y}} = e^{-2ln{y}}=\frac{1}{y^2}$

Умножаем уравнение на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{y^2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{y}-\left ( \frac{\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{x}{y^2} \right )dy = 0$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix} \\P(x,y) = \frac{1}{y}, & Q(x,y)= -\left ( \frac{\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{x}{y^2} \right ) \end{matrix} \\\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{1}{y^2} $

Последнее равенство указывает на то, что нам удалось получить уравнение в полных дифференциалах вида
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dU(x,y) = \frac{\partial U(x,y)}{\partial x}dx + \frac{\partial U(x,y)}{\partial y}dy = 0$

решение которого, очевидно
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U(x,y) = C$

Найдём U(x,y)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix} \\\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{y}, & \frac{\partial U}{\partial y}= -\left ( \frac{\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{x}{y^2} \right ) \end{matrix}$

Из первого равенства следует
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U=\int \frac{1}{y}dx+\phi(y) = \frac{x}{y}+\phi(y)$

Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}+\phi'(y)= -\frac{x}{y^2}-\frac{\sqrt{1+y^2}}{y} \\\phi'(y)=-\frac{\sqrt{1+y^2}}{y}$

Найдём $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi(y)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi(y)=-\int \frac{\sqrt{1+y^2}}{y}dy = \begin{bmatrix} t^2=1+y^2\\ y = \sqrt{t^2-1}\\ dy = t\frac{dt}{\sqrt{t^2-1}} \end{bmatrix} = -\int \frac{t\cdot tdt}{\sqrt{t^2-1}\sqrt{t^2-1}}=-\int \frac{t^2}{t^2-1}dt = -\int \frac{t^2-1+1}{t^2-1}dt = -\int dt-\int \frac{dt}{t^2-1}=-t-\frac{1}{2}ln\left | \frac{t-1}{t+1} \right | + C = -\sqrt{1+y^2}-\frac{1}{2}ln\left | \frac{\sqrt{1+y^2}-1}{\sqrt{1+y^2}+1} \right | + C$

Общее решение исходного уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U=\frac{x}{y}+\phi(y) = \frac{x}{y}-\sqrt{1+y^2}-\frac{1}{2}ln\left | \frac{\sqrt{1+y^2}-1}{\sqrt{1+y^2}+1} \right | = C$

Ответ:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x}{y}-\sqrt{1+y^2}-\frac{1}{2}ln\left | \frac{\sqrt{1+y^2}-1}{\sqrt{1+y^2}+1} \right | = C$

Запись от IrineK размещена 12.07.2014 в 16:25 IrineK вне форума

2.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'\left ( y\sqrt{1+y^2}+x \right ) = y$

Преобразуем к виду
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{y}-(y^2-1-2x)dy = 0$

Т.е.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix} P(x,y) = \frac{1}{y}, & Q(x,y) = -(y^2-1-2x) \end{matrix}$

При этом
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix} \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{y^2}, & \frac{\partial Q}{\partial x} = 2 \end{matrix} \\\frac{\partial P}{\partial y}\neq \frac{\partial Q}{\partial x}$

Для перехода к уравнению в полных дифференциалах найдём интегрирующий множитель.
Видим, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{-\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=\frac{\frac{1}{y^2}+2}{\frac{1}{y}} = \frac{1}{y}+2y = f(y)$

Интегрирующий множитель
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\mu = e^{\int f(y)dy}= e^{\int \frac{dy}{y}+2\int ydy} = e^{ln{y}}\cdot e^{y^2}=ye^{y^2}$

Умножаем уравнение на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ye^{y^2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{y^2}dx - (y^3-y-2xy)e^{y^2}dy = 0$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix} \\P(x,y) = e^{y^2}, & Q(x,y)= - (y^3-y-2xy)e^{y^2} \end{matrix} \\\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2ye^{y^2} $

Последнее равенство указывает на то, что нам удалось получить уравнение в полных дифференциалах вида
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dU(x,y) = \frac{\partial U(x,y)}{\partial x}dx + \frac{\partial U(x,y)}{\partial y}dy = 0$

решение которого, очевидно
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U(x,y) = C$

Найдём U(x,y)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix} \\\frac{\partial U}{\partial x} = e^{y^2}, & \frac{\partial U}{\partial y}= - (y^3-y-2xy)e^{y^2} \end{matrix}$

Из первого равенства следует
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U=\int e^{y^2}dx+\phi(y) = xe^{y^2}+\phi(y)$

Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial U}{\partial y} = x\cdot 2ye^{y^2}+\phi'(y) = - (y^3-y-2xy)e^{y^2} \\\phi'(y) =(-y^3+y)e^{y^2}$

Найдём $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi(y)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\phi(y) =-\int y^3e^{y^2}dy + \int ye^{y^2}dy \\\int y^3e^{y^2}dy=\begin{bmatrix} t=y^2\\ dt = 2ydy \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\int te^tdt = \begin{bmatrix} u = t & du = dt\\ dv = e^tdt & v = e^t \end{bmatrix} = \frac{1}{2}(te^t-e^t)+C = \frac{e^{y^2}}{2}(y^2-1)+C \\\int ye^{y^2}dy=\begin{bmatrix} t=y^2\\ dt = 2ydy \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\int e^tdt = \frac{e^t}{2}+C = \frac{e^{y^2}}{2}+C \\\phi(y) =-\frac{e^{y^2}}{2}(y^2-1)+\frac{e^{y^2}}{2}+C = \frac{e^{y^2}}{2}(2-y^2)+C$

Общее решение исходного уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U=xe^{y^2}+\phi(y) = e^{y^2}\left ( x-\frac{y^2}{2} +1\right ) = C$

Ответ:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{y^2}\left ( x-\frac{y^2}{2} +1\right ) = C$

Запись от IrineK размещена 12.07.2014 в 17:33 IrineK вне форума

IrineK

Регистрация 23.02.2011
Адрес Киев
Сообщений 6,002
Записей в блоге 25

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
[golang] Алгоритм «Хак Госпера» alhaos 17.05.2026 Алгоритм «Хак Госпера» Хак Госпера (Gosper's Hack) — алгоритм нахождения следующего по величине числа с тем же количеством установленных бит. Придуман Биллом Госпером в 1970-х, опубликован в. . .	Рисование бинарного древа до 6-го колена на js, svg. russiannick 17.05.2026 <svg width="335" height="240" viewBox="0 0 335 240" fill="#e5e1bb"> <style> <!]> </ style> <g id="bush"> </ g> </ svg> function fn(){ let rost;/ / высота древа let xx=165,yy=210,w=256;	FSharp: interface of module DevAlt 16.05.2026 Интерфейс модуля F# позволяет управлять доступностью членов, содержащихся в реализации модуля. По-умолчанию все члены модуля доступны: module Foo let x = 10 let boo () = printfn "boo" . . .	Хитросплетение родственных связей пантеона греческих богов. russiannick 14.05.2026 Однооконник, позволяющий узреть и изучить отдельных героев древней Греции. <!DOCTYPE html> <html lang="ru"> <head> <meta charset="UTF-8"> <meta http-equiv="X-UA-Compatible". . .
[golang] Угол между стрелками часов alhaos 12.05.2026 По заданным значениям часа и минуты необходимо определить значение меньшего угла между стрелками аналогового циферблата часов. import "math" func angleClock(hour int, minutes int) float64 { . . .	Debian 13: Установка Lazarus QT5 ВитГо 09.05.2026 Эта инструкция моя компиляция инструкций volvo https:/ / www. cyberforum. ru/ blogs/ 203668/ 10753. html и его же старой инструкции по установке Lazarus с gtk2. . .	Нейросеть на алгоритме "эстафета хвоста" как перспектива. Hrethgir 06.05.2026 На десерт, когда запущу сервер. Статья тут https:/ / habr. com/ ru/ articles/ 1030914/ . Автор я сам, нейросеть только помогает в вопросах которые мне не известны - не знаю людей которые знали-бы. . .	Асинхронный приём данных из COM-порта Argus19 01.05.2026 Асинхронный приём данных из COM-порта Купил на aliexpress термопринтер QR701. Он оказался странным. Поключил к Arduino Nano. Был очень удивлён. Наотрез отказывается печатать русские буквы. Чтобы. . .

Наверх

Сообщение форума

Отменить изменения