Электричество и магнетизм

Запись от IrineK размещена 07.07.2014 в 15:44

Показов 3991 Комментарии 4

Метки math, математика

Ряд задач

Метки math, математика

Размещено в Физика

« Уравнения гиперболического типа Главная страница Уравнения Бернулли »

Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.

Всего комментариев 4

Комментарии

Закон Био-Савара-Лапласа. Сила Ампера

Рядом с длинным проводом, по которому течет ток 30 А, расположена квадратная рамка с током 2 А. Рамка и провод лежат в одной плоскости. Проходящая через середины противолежащих сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии 30 мм. Сторона рамки 20 мм. Найти силу, действующую на рамку. Построить картину силовых линий.

I₁ = 30A
I₂ = 2 А
d = 0,03 м
а = 0,02 м
________________
F - ?

1 случай

Пусть токи в проводнике и ближайшей к нему стороне рамки направлены в противоположные стороны (рис.1).
По закону Био-Савара-Лапласа бесконечный проводник создаёт в любой точке на расстоянии r от своей оси поле с индукцией

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? B(r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1}{r} $

Сила, с которой проводник действует на элемент dl рамки с током, т.е. сила Ампера:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? d\overrightarrow{F} = I_2 d\overrightarrow{l}\times d\overrightarrow{B} $
или
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? dF = I_2 dl B sin\alpha $
где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ - угол между $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d\overrightarrow{l}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d\overrightarrow{B}$

Рассмотрим каждую сторону рамки.

Сторона АВ (рис.2)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F_{AB} = \int_{0}^{a}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1I_2}{(d-\frac{a}{2})}dl = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1I_2}{(d-\frac{a}{2})}a $
Сила направлена от проводника, т.е. является отталкивающей для рамки (токи противоположно направлены).

Сторона BC (рис.3)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F_{BC} = \int_{d-\frac{a}{2}}^{d+\frac{a}{2}}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1I_2}{l}dl = \frac{\mu_0}{4\pi}2I_1I_2ln\left(\frac{d+\frac{a}{2}}{d-\frac{a}{2}}\right) $
Сила направлена к центру рамки.

Сторона CD (рис.4)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F_{CD} = \int_{0}^{a}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1I_2}{(d+\frac{a}{2})}dl = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1I_2}{(d+\frac{a}{2})}a $
Сила направлена к проводнику, т.е. сторона CD рамки притягивается к проводнику (токи сонаправлены).

Сторона AD (рис.5)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F_{AD} = \int_{d-\frac{a}{2}}^{d+\frac{a}{2}}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1I_2}{l}dl = \frac{\mu_0}{4\pi}2I_1I_2ln\left(\frac{d+\frac{a}{2}}{d-\frac{a}{2}}\right)= F_{BC} $
Сила направлена к центру рамки.

В итоге имеем следующую картину (рис.6).

Сумма
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \overrightarrow{F_{AD}} + \overrightarrow{F_{BC}} = 0 $

Сумма
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? |\overrightarrow{F_{AB}} + \overrightarrow{F_{CD}}| = \frac{\mu_0}{4\pi}2I_1I_2a\left (\frac{1}{d-\frac{a}{2}} - \frac{1}{d+\frac{a}{2}} \right ) = \frac{\mu_0}{4\pi}2I_1I_2\frac{a^2}{d^2-\frac{a^2}{4}} $

Итак, сила, действующая на рамку со стороны проводника:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F = \frac{\mu_0}{4\pi}2I_1I_2\frac{a^2}{d^2-\frac{a^2}{4}} $

По направлению – эта сила отталкивающая.

Определим численное значение F
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}}{4\pi}2\cdot 30\cdot 2\frac{20^2\cdot 10^{-6}}{(30^2-\frac{20^2}{4})\cdot 10^{-6}} = 6\cdot 10^{-6} H $

2 случай

На этот раз токи в проводнике и ближайшей к нему стороне рамки сонаправлены (рис.7).
По аналогии получим, что сила, действующая на рамку со стороны проводника также равна:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F = \frac{\mu_0}{4\pi}2I_1I_2\frac{a^2}{d^2-\frac{a^2}{4}} \\F = 6\cdot 10^{-6} H $

Но по направлению – эта сила будет притягивающая.

Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{matrix} F = \frac{\mu_0}{4\pi}2I_1I_2\frac{a^2}{d^2-\frac{a^2}{4}}, & F = 6\cdot 10^{-6} H \end{matrix} $ , притяжение, если токи в проводнике и ближайшей к нему стороне рамки сонаправлены; отталкивание – если направлены противоположно.

Запись от IrineK размещена 07.07.2014 в 16:39 IrineK вне форума

Пучок электронов в магнитном поле

Точечный источник О испускает электроны с одинаковой по величине скоростью v в пределах конуса с очень малым углом раствора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\alpha$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ ≪1, ось которого совпадает с направлением однородного магнитного поля с индукцией B. На некотором удалении от точки О пучок электронов будет фокусироваться. Определить радиус сфокусированного пучка. Построить траекторию движения электрона.
v, B, α
__________
∆r - ? (рис.8)

На электрон с зарядом e, движущийся со скоростью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{v}$ в магнитном поле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{B}$ действует сила Лоренца

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \overrightarrow{F} = e\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B} $

Для составляющей скорости движения электронов, параллельной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{B}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{F_{||}} = 0$ , т.е. движение по оси вдоль поля будет равномерным.

Для составляющей скорости, перпендикулярной к направлению $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overrightarrow{B}$ , имеем

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F = ev_\perp B = ma = m\frac{v_\perp^2}{R}$

вращение по окружностям радиусом

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R = \frac{mv_\perp^2}{eB} = \frac{mv}{eB}sin\phi, 0\leq \phi\leq \alpha$

Результирующим движением (поступательное + вращательное) будет движение по спирали (рис.9).
Найдём период вращения

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T = \frac{2\pi R}{v_\perp} = \frac{2\pi m}{eB} = \frac{const}{B}$

Как видим. период определяется только величиной индукции и не зависит от начальной скорости электрона.
Шаг винтовой траектории

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h = Tvcos\phi, 0\leq \phi\leq \alpha$

Если из точки О вылетает поток электронов, траектории которых имеют различные углы наклона к оси симметрии OX , то магнитное поле будет сжимать их траектории в направлении к оси OX. Внешние электроны отклоняются сильнее внутренних.
Разброс вдоль оси:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta l = Tv(1-cos \alpha) = 2Tv sin^2(\frac{\alpha}{2})\approx \frac{Tv \alpha^2}{2}$

Радиус поперечного разброса будет определяться электронами с максимальным отклонением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\alpha$ . Они сфокусируются раньше остальных и на подлете к экрану уже отклонятся в поперечном направлении на

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \Delta r = vsin\alpha \Delta t \\\Delta t = \frac{\Delta l}{2v} \\\Delta r = vsin\alpha \frac{\Delta l}{2v} = \frac{\Delta lsin\alpha}{2}\approx \frac{\Delta l \alpha}{2} = \frac{Tv \alpha^3}{4} \\\Delta r =\frac{\pi mv \alpha^3}{2eB} $

Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta r =\frac{\pi mv \alpha^3}{2eB}$

Запись от IrineK размещена 07.07.2014 в 17:24 IrineK вне форума

Два проводника конечной длины с током

С какой силой взаимодействуют два параллельных проводника длиной 0.5 м каждый, по которым идут токи 10 и 40 А в одном направлении, если они находятся в воздухе на расстоянии 0.5 м? Сделать детальный рисунок, на котором указать все векторы. Построить картину силовых линий индукции магнитного поля.
L = 0,5 м
I1 = 10 A
I2 = 40 A
d = 0,5 м
______________
F - ?

Первый проводник создает на расстоянии d поле B₁, а второй на этом же расстоянии создает поле B₂ (рис.10).

Направление силы Ампера находим по правилу левой руки. В данном случае проводники притягиваются друг к другу.
Определим модуль этой силы.
В произвольной точке второго проводника первый создает магнитное поле с индукцией (рис.11)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1}{d}\left ( cos\phi_1 - cos\phi_2 \right ) $

Т.к. I₂ и B₁ перпендикулярны, сила Ампера

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? dF_{1-2} = I_2B_1dl \\cos\phi_1 = \frac{l}{\sqrt{l^2+d^2}} \\cos\phi_2 = -\frac{L-l}{\sqrt{(L-l)^2+d^2}} \\dF_{1-2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1I_2}{d}\left ( \frac{l}{\sqrt{l^2+d^2}} + \frac{L-l}{\sqrt{(L-l)^2+d^2}} \right ) \\F_{1-2} = \int_{0}^{L}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1I_2}{d}\left ( \frac{l}{\sqrt{l^2+d^2}} + \frac{L-l}{\sqrt{(L-l)^2+d^2}} \right ) $

Найдём интеграл

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int \frac{xdx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \begin{bmatrix}x^2+a^2 = t\\2xdx =dt \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \sqrt{t} + C = \sqrt{x^2+a^2} + C $

Тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F_{1-2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1I_2}{d}\left ( \sqrt{l^2+d^2} - \sqrt{(L-l)^2+d^2} \right )|_{0}^{L} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1I_2}{d}\left ( \sqrt{L^2+d^2} - \sqrt{d^2}- \sqrt{d^2}+ \sqrt{L^2+d^2} \right ) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1I_2}{d}\left ( \sqrt{L^2+d^2} - \sqrt{d^2} \right ) $

Сила взаимодействия

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F = F_{1-2} = F_{2-1} = \frac{\mu_0}{4\pi}2I_1I_2\left ( \sqrt{\left(\frac{L}{d}\right)^2+1} - 1 \right ) $

Подставляем численные значения

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? F = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}}{4\pi}2\cdot 10\cdot 40\left ( \sqrt{2} - 1 \right )\approx 3.3\cdot 10^{-5} H $

Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{matrix} F = \frac{\mu_0}{4\pi}2I_1I_2\left ( \sqrt{\left(\frac{L}{d}\right)^2+1} - 1 \right ), & F = 3.3\cdot 10^{-5} H \end{matrix}$

Запись от IrineK размещена 08.07.2014 в 21:04 IrineK вне форума

Частица в магнитном поле

Точечный заряд 10 мКл влетает со скоростью 5 м/с в однородное магнитное поле. Вектор скорости заряда и вектор магнитной индукции поля взаимно перпендикулярны. Найдите величину и направление силы, действующей на заряд. Индукция магнитного поля 2 Тл. Постройте траекторию движения заряда.
q = 0,01 Кл
v┴ = 5 м/с
В = 2 Тл
________________
F - ?

Поскольку составляющая, параллельная вектору магнитной индукции, в скорости отсутствует, движение будет круговым (рис.12).
Сила Лоренца

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_L = qv_\perp B = ma = \frac{mv_\perp^2}{R}$

Имеем вращение по окружности радиусом

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R = \frac{mv_\perp}{qB}$

Направление силы Лоренца определяется правилом левой руки.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_L = 0.01\cdot 5\cdot 2 = 0.1 H$

Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_L = qv_\perp B$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_L = 0.1 H$

Запись от IrineK размещена 08.07.2014 в 21:51 IrineK вне форума

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Часы электронные Uhbif79 12.08.2026 Выкладываю программу часов. Программа позволяет: 1. Использовать системное время и дату, 2. Есть возможность вводить время и дату вручную. 3. Реализованы 2 будильника: начало и конец рабочего дня. . . .	Часы с будильником на основе класса QLCDNumber Uhbif79 12.08.2026 Всем добрый день, выкладываю программу часов с будильником на основе класса QLCDNumber. Здесь я пробовал самостоятельно создавал классы, впервые столкнулся с видимостью переменной одного класса из. . .	Установка MinGW GCC 16.2 и CMake 8Observer8 10.08.2026 VK Видео: https:/ / vkvideo. ru/ video-240781534_456239017 YouTube: eY5-5PyI9NM Текстовая версия	Неделя из жизни имитационной модели склада: мои кривые руки растут, откуда надо anaschu 10.08.2026 Неделя из жизни имитационной модели склада: как я почти написал неправильную логику и что с этим делать Работаю сейчас над учебно-рабочим проектом: строю в AnyLogic имитационную модель процессов. . .
Калькулятор для расчета родства russiannick 07.08.2026 1. Задача: Создать калькулятор для расчета родства. Родственных связей существует 8 ступеней, такие как: p - отец P - мать q - муж Q - жена b - брат B - сестра s - сын S - дочь	Мир по моей воле kumehtar 07.08.2026 Когда-то кажется, что всё просто. Ты весь такой светлый. Причиняешь добро. Борешься за справедливость в этом тёмном мире. Потом начинаешь замечать одну неприятную вещь. Почти каждый хороший. . .	Кредитный калькулятор Maks 05.08.2026 Решение задачи по прикладной информатике средствами 1С. Задача: Напишите приложение-калькулятор, которое помогает рассчитывать параметры кредита для аннуитетного и дифференцированного видов. . .	У нас сейчас поговорку "Опять 25" нужно переделать на "Опять +35". kumehtar 04.08.2026 С ностальгией вспоминаю времена моего детства, когда у нас и правда +25 - была максимальная температура летом. Раньше +25 °C реально казались вершиной жары, когда можно было весь день пропадать на. . .

Сообщение форума

Отменить изменения