Уравнения гиперболического типа

Запись от IrineK размещена 06.07.2014 в 09:22

Метки math, крест, математика, неявная схема

Используя явную схему крест и неявную схему, решить начально-краевую задачу для дифференциального уравнения гиперболического типа. Аппроксимацию второго начального условия произвести с первым и со вторым порядком. Осуществить реализацию трех вариантов аппроксимации граничных условий, содержащих производные: двухточечная аппроксимация с первым порядком, трехточечная аппроксимация со вторым порядком, двухточечная аппроксимация со вторым порядком. В различные моменты времени вычислить погрешность численного решения путем сравнения результатов с приведенным в задании аналитическим решением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U(x,t)$ . Исследовать зависимость погрешности от сеточных параметров $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\tau, h$

Метки math, крест, математика, неявная схема

Размещено в Разностные схемы

« Локальный экстремум функции двух переменных Главная страница Электричество и магнетизм »

Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.

Всего комментариев 1

Комментарии

Уравнение 1

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + 2\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial u}{\partial x} - 3u \\u(0,t) = e^{-t}cos(2t) \\u(\frac{\pi }{2}, t) = 0 \\u(x,0) = e^{-x}cos(x) \\u_{t}(x,0) = -e^{-x}cos(x) $

Аналитическое решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U(x,t) = e^{-t-x}cos(x)cos(2t)$

======================================== ======================================== ============
1) Схема "крест" (рис.1)

Разностные аналоги имеют следующий вид
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u_{tt} \approx \frac{u_{i}^{k+1} - 2u_{i}^{k} + u_{i}^{k-1}}{\tau ^2} \\u_{t} \approx \frac{u_{i}^{k+1} - u_{i}^{k}}{\tau} \\u_{xx} \approx \frac{u_{i+1}^{k} - 2u_{i}^{k} + u_{i-1}^{k}}{h^2} \\u_{x} \approx \frac{u_{i+1}^{k} - u_{i}^{k}}{h} $

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{i}^{k}$ - значение функции u(x,t) в момент времени $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_{k}$ в точке пространства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{i}$

Разностная схема для данного уравнения

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{u_{i}^{k+1} - 2u_{i}^{k} + u_{i}^{k-1}}{\tau ^2} + 2\frac{u_{i}^{k+1} - u_{i}^{k}}{\tau} = \frac{u_{i+1}^{k} - 2u_{i}^{k} + u_{i-1}^{k}}{h^2} + 2\frac{u_{i+1}^{k} - u_{i}^{k}}{h} - 3u_{i}^{k} $

Искомой величиной является значение функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{i}^{k+1}$ в момент времени $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_{k+1}$ в точке пространства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{i}$ .

Введём число Куранта $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C = \frac{\tau}{h}$ и выразим явно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{i}^{k+1}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u_{i}^{k+1} = \frac{1}{1 + 2\tau}\left ( -u_{i}^{k-1} + C^2u_{i-1}^{k} + 2\left( \left( 1+\tau-\frac{3}{2}\tau ^2 \right ) - C^2 (1+h)\right )u_{i}^{k} + C^2 (1+2h)u_{i+1}^{k})\right ) $

Видим, что для нахождения значения функции в узле i на k + 1-ом временном слое, необходимо знать значения функции в трех узлах (i – 1, i, i + 1) на k-ом временном слое и одно значение в узле i на k – 1-ом временном слое.

Начальные условия

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u(x,0) = e^{-x}cos(x) = \phi_1(x) \\u_{t}(x,0) = -e^{-x}cos(x) = \phi_2(x) $

Первого порядка точности
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u_{i}^{0} = \phi_1(x_i) \\\frac{u_{i}^{0}-u_{i}^{-1}}{\tau} = \phi_2(x_i) $
или
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u_{i}^{0} = \phi_1(x_i) \\u_{i}^{-1} = \phi_1(x_i) - \tau \phi_2(x_i) $

Второго порядка точности
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u_{i}^{0} = \phi_1(x_i) \\\frac{u_{i}^{0}-u_{i}^{-1}}{\tau} = u_t(x_i,0) + \frac{\tau}{2}u_{tt}(x_i,0) = u_t(x_i,0) + \frac{\tau}{2}\left ( u_{xx}(x_i,0) + 2u_x(x_i,0)- 2u_t(x_i,0) - 3u(x_i,0)\right ) \\\frac{u_{i}^{0}-u_{i}^{-1}}{\tau} = \left ( 1-\tau \right )\phi_2(x_i) + \frac{\tau}{2}\left (\frac{u_{i+1}^{0} - 2u_{i}^{0} + u_{i-1}^{0}}{h^2}+2\frac{u_{i+1}^{0} - u_{i}^{0}}{h}-3u_{i}^{0}\right ) $

Выразим в явном виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{i}^{-1}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u_{i}^{-1} = \tau (\tau-1) \phi_2(x_i)-\frac{\tau ^2}{2}\left (\left (\frac{1}{h^2}+\frac{2}{h}\right )\phi_1(x_{i+1})+2\left(-\frac{1}{\tau ^2} - \frac{1}{h^2}-\frac{1}{h}- \frac{3}{2}\right )\phi_1(x_{i})+\frac{1}{h^2}\phi_1(x_{i-1})\right ) $

Граничные условия

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u(0,t) = e^{-t}cos(2t)= \mu(t) \\u(\frac{\pi }{2}, t) = 0 $

первого рода - производных не содержат. Поэтому просто
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? u_{0}^{k+1} = \mu(t_{k+1}) \\u_{N}^{k+1} = 0 $

======================================== ======================================== ============

2) Неявная схема (рис.2)

По неявной схеме получаем систему уравнений

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left\{\begin{matrix} u_{tt}+2u_t\approx \frac{u_{i}^{k+1} - 2u_{i}^{k} + u_{i}^{k-1}}{\tau ^2} + 2\frac{u_{i}^{k+1} - u_{i}^{k}}{\tau} = \lambda \left(\sigma u_i^{k+1} + (1-2\sigma)u_i^{k} + \sigma u_i^{k-1} \right) - 3u_i^{k} \\ u_{xx}+2u_x\approx \frac{u_{i+1}^{k} - 2u_{i}^{k} + u_{i-1}^{k}}{h^2} + 2\frac{u_{i+1}^{k} - u_{i}^{k}}{h} = \lambda u_i^{k} \end{matrix} $

Откуда на k-ом временном слое

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left\{\begin{matrix} \lambda = \frac{1}{h^2}\left(\frac{u_{i+1}^{k}(1+2h) + u_{i-1}^{k}}{u_{i}^{k}} - 2(1+h)\right) \\u_{i}^{k+1} = \frac{(\lambda \tau^2(1-2\sigma)+2\tau - 1)u_{i}^{k}+(\lambda \tau^2 \sigma - 1)u_{i}^{k-1}}{1+2\tau-\lambda \tau^2 \sigma} \end{matrix} $

При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{4}\leq \sigma \leq \frac{1}{2}$ схема безусловно устойчива.
Граничные и начальные условия уже нами определены.

======================================== ======================================== ============

Реализация

Реализация построенных схем выглядит следующим образом

"Крест"

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
#pragma once
 
#include <cmath>
const double pi = 3.14159265359;
 
double Phi1 (double x)
{   return exp(-x)*cos(x);
}
 
double Phi2 (double x)
{   return -exp(-x)*cos(x);
}
 
double Mu (double t)
{   return exp(-t)*cos(2*t);
}
 
double u_kp1_i (double u_km1_i, double u_k_im1, double u_k_i, double u_k_ip1, double h, double C)
{   double tau = C*h;
    return (-u_km1_i + C*C*u_k_im1 + 2*(1+tau-1.5*tau*tau - C*C*(1+h))*u_k_i + C*C*(1+2*h)*u_k_ip1) / (1+2*tau);
}
 
void SetEdges (double **U, int N, int S, double tau)
{   for (int j = 0; j<S; j++)
    {   U[0][j] = Mu(j*tau);
        U[N-1][j] = 0.;
    }
}
 
void SetStart1 (double **U, int N, int S, double tau, double *x)
{   for (int i = 1; i<N-1; i++)
    {   U[i][0] = Phi1(x[i]) - tau * Phi2(x[i]);    //  u(t = -1)
        U[i][1] = Phi1(x[i]);                       //  u(t = 0)
    }
}
 
void SetStart2 (double **U, int N, int S, double tau, double h, double *x)
{   for (int i = 1; i<N-1; i++)
    {   U[i][0] = Phi1(x[i]) - tau * ((1-tau)*Phi2(x[i]) + 0.5*tau*((Phi1(x[i+1]) - 2*Phi1(x[i]) + Phi1(x[i-1]))/(h*h) +
            2*(Phi1(x[i+1]) - Phi1(x[i]))/h - 3*Phi1(x[i])));
        U[i][1] = Phi1(x[i]);
    }
}
 
void FillAll (double **U, int N, int S, double *x, double h, double C)
{   int j = 0;
    while (++j < S-1)
        for (int i = 1; i<N-1; i++)
            U[i][j+1] = u_kp1_i (U[i][j-1], U[i-1][j], U[i][j], U[i+1][j], h, C);
}

Неявная схема

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
double u_kp1_i_implicit (double u_km1_i, double u_k_im1, double u_k_i, double u_k_ip1, double h, double C)
{   double tau = C*h;
    double sigma = 0.4;
    double lambda = (1/(h*h))*((u_k_ip1*(1+2*h) + u_k_im1)/u_k_i - 2*(1+h));
    return ((lambda*tau*tau*(1-2*sigma) + 2*tau - 1)* u_k_i + (lambda * tau*tau*sigma-1)*u_km1_i)/ (1+2*tau - lambda*tau*tau*sigma);
}
 
void FillImplicit (double **U, int N, int S, double *x, double h, double C)
{   int j = 0;
    while (++j < S-1)
        for (int i = 1; i<N-1; i++)
            U[i][j+1] = u_kp1_i (U[i][j-1], U[i-1][j], U[i][j], U[i+1][j], h, C);
}

GUI можно прикрутить по вкусу.
Представленные выше - графики получены в консоли средствами WinAPI
Количество точек на стержне задаёт пользователь (от 10 до 1000). Графики - для 1000 точек.

Запись от IrineK размещена 06.07.2014 в 09:29 IrineK вне форума

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Запустил конкурс "тем и промптов для текстовых квестов созданных почти чисто ИИ" Adler 06.10.2026 Всем привет! За последние три-четыре дня я создал более 16 текстовых квестовых игр используя преимущественно по одному запросу к ИИ на игру. Мне так понравилось смотреть все ветки/ сцены во всех. . .	ИИ не может найти нужный язык в списке Supersumestria 05.10.2026 Я ему даю вот такое изображение и прошу найти и подчеркнуть немецкий язык. Возвращает он вот это: https:/ / i. **********/ vqBWLe2. png Нужную строчку в 3й колонке просто выдумал. . Это. . .	Новая последняя моя музыка в SUNO zorxor 05.10.2026 Здравствуйте, дорогие мои друзья! С большой радостью я хотел бы представить вам свою новую последнею музыку, которую сгенерировала мне по моей просьбе нейросеть SUNO. С уважением, zorxor. Это. . .	Программный домашний кинотеатр russiannick 27.09.2026 Сподобился на программный домашний кинотеатр. В качестве ЯВУ по традиции выбрал js. В помощники взял Яндекс-Алису. Было создано три зала на разные интересы. исторические и ретро сериал Хичкок. . .
Беседа с ИИ о программистах, недопускающих к созданию и правке кода генеративные ИИ и причины этого zorxor 21.09.2026 Раньше я радовался или получал некоторые эмоции, пусть небольшие, но всё же, от самого процесса написания кода, рекомпиляции и запуска, видя постепенное развитие программы и прочее. А теперь лень. . .	Мобильное приложение ColorStep pavlinmavlin 17.09.2026 Реализовал приложение Красный, Зеленый, Синий в Unity3d + c#. Название изменил на ColorStep. Приложение прошло модерацию и теперь доступно для скачивания. Делал его сам, шаг за шагом — и вот,. . .	Запрет дублирования строк в табличной части Maks 13.09.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповом справочнике "Нормы ТО" с табличной часть "Виды ТО", разработанного в КА2, со следующими реквизитами: - ВидТО (СправочникСсылка. ВидыТО); - ВидГСМ. . .	Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Jin X 06.09.2026 Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Работая с форумом и нейросетями в браузере часто хочется что-то подкорректировать или добавить какого-то функционала. Ниже прикреплён. . .

Сообщение форума

Отменить изменения