Уравнения Бернулли

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 11:01

Показов 2000 Комментарии 6

Метки math, дифуры, математика

Ряд уравнений

Метки math, дифуры, математика

Размещено в Дифференциальные уравнения

« Электричество и магнетизм Главная страница Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель »

Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.

Всего комментариев 6

Комментарии

1.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'-\frac{y}{x}=\sqrt{xy}\cdot tg^2{x}$

Делим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{y}$ и получаем уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y'}{\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{y}}{x}=\sqrt{x}\cdot tg^2{x}$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \sqrt{y}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = \frac{y'}{2\sqrt{y}}$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2z' - \frac{z}{x}=\sqrt{x}\cdot tg^2{x}$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(u'v+uv') - \frac{uv}{x}=\sqrt{x}\cdot tg^2{x} \\\left(2u'-\frac{u}{x}\right)v+2uv'=\sqrt{x}\cdot tg^2{x}$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} 2u'-\frac{u}{x}=0\\ 2uv' = \sqrt{x}\cdot tg^2{x} \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2du}{u}=\frac{dx}{x} \\2ln|u| = ln|x| \\u^2 = x \\u = \sqrt{x}$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\sqrt{x}\cdot v' = \sqrt{x}\cdot tg^2{x} \\v'=\frac{1}{2}tg^2{x} \\v=\frac{1}{2}\int tg^2{x}dx = \frac{1}{2}\int \frac{sin^2{x}}{cos^2{x}}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1-cos^2{x}}{cos^2{x}}dx = \frac{1}{2}\left(\int\frac{dx}{cos^2{x}}-\int dx\right) = \frac{1}{2}\left(tg{x}-x\right )+C$

Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = \sqrt{x}\left(\frac{tg{x}-x}{2}+C\right )=\sqrt{y}$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = z^2 = x\left(\frac{tg{x}-x}{2}+C\right )^2$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 11:56 IrineK вне форума

2.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy'-2x^2\sqrt{y}=4y$

Делим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\sqrt{y}$ и получаем уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y'}{\sqrt{y}}-2x=\frac{4\sqrt{y}}{x} \\\frac{y'}{\sqrt{y}}-\frac{4\sqrt{y}}{x}=2x$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \sqrt{y}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = \frac{y'}{2\sqrt{y}}$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2z'-\frac{4z}{x}=2x \\z'-\frac{2z}{x}=x$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u'v+uv'-\frac{2uv}{x}=x$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} u'-\frac{u}{x}=0\\ uv' = x \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{du}{u}=\frac{2dx}{x} \\ln|u| = 2ln|x| \\u = x^2$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?uv'=x \\x^2v' = x \\v' = \frac{1}{x} \\v=\int \frac{dx}{x}= ln|x|+C$

Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = x^2(ln|x|+C) = \sqrt{y}$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = z^2 = x^4(ln|x|+C)^2$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 12:13 IrineK вне форума

3.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4x^3dy+(9y^3-3x^2y)dx = 0$

Делим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^3y^3$ и получаем уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{4y'}{y^3}+\frac{9}{x^3}-\frac{3}{xy^2}=0$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \frac{1}{y^2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = \frac{2y'}{y^3}$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2z'-\frac{3z}{x}+\frac{9}{x^3}= 0$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(u'v+uv')-\frac{3uv}{x}+\frac{9}{x^3}= 0 \\v\left(2u'-\frac{3u}{x} \right )+2uv'+\frac{9}{x^3} = 0$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} 2u'-\frac{3u}{x}=0\\ 2uv' = -\frac{9}{x^3} \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{du}{u}=\frac{3dx}{2x} \\ln|u| = \frac{3}{2}ln|x| \\u = x^{3/2}$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2uv'=-\frac{9}{x^3} \\2x^{3/2}v' = x \\v' = -\frac{9}{2x^{9/2}} \\v=-\frac{9}{2}\int \frac{dx}{x^{9/2}}= \frac{9}{7}\frac{1}{x^{7/2}}+C$

Откуда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = x^{3/2}\left( \frac{9}{7}\frac{1}{x^{7/2}}+C\right ) = \frac{9}{7x^2}+Cx\sqrt{x}=\frac{1}{y^2}$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y= \frac{1}{\sqrt{z}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{7x^2}+Cx\sqrt{x}}}$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 12:13 IrineK вне форума

4.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'+\frac{3y}{x}=\sqrt[3]{y^2}ln{x}$

Делим на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{y^2}$ и получаем уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y'}{\sqrt[3]{y^2}}+\frac{3\sqrt[3]{y}}{x}=ln{x}$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = \sqrt[3]{y}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = \frac{y'}{3\sqrt[3]{y^2}}$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3z'+\frac{3z}{x}-ln{x}=0$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3(u'v+uv')+\frac{3uv}{x}-ln{x}=0 \\v\left(3u'+\frac{3u}{x} \right )+3uv'-ln{x}=0$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} 3u'+\frac{3u}{x}=0\\ 3uv' = ln{x} \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{du}{u}=-\frac{dx}{x} \\ln|u| = -ln|x| \\u = \frac{1}{x}$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3\cdot \frac{1}{x}v'=ln{x} \\v'=\frac{1}{3}xln{x} \\v=\frac{1}{3}\int xln{x}dx=\begin{bmatrix} a=ln{x} & da=\frac{dx}{x}\\ db=xdx & b=\frac{x^2}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{3}\left(\frac{x^2ln{x}}{2}-\frac{1}{2} \int xdx\right ) = \frac{1}{3}\left(\frac{x^2ln{x}}{2}-\frac{x^2}{4}\right )+C=\frac{x^2}{12}(2ln{x}-1)+C$

Откуда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = \frac{1}{x}\left(\frac{x^2}{12}(2ln{x}-1)+C \right )=\frac{x}{12}(2ln{x}-1)+\frac{C}{x} = \sqrt[3]{y}$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = z^3 = \left(\frac{x}{12}(2ln{x}-1)+\frac{C}{x} \right )^3$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 12:56 IrineK вне форума

5.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?yy'+3y^2=x-1$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = y^2$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = 2yy'$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z'}{2}+3z=x-1$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{u'v+uv'}{2}+3uv=x-1 \\v\left(\frac{u'}{2}+3u \right )+\frac{uv'}{2}=x-1$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} \frac{u'}{2}+3u=0\\ \frac{uv'}{2}=x-1 \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{du}{u}=-\frac{3}{2}dx \\ln|u| = -\frac{3}{2}x \\u = e^{-\frac{3x}{2}}$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{e^{-\frac{3x}{2}}}{2}v' = x-1 \\v'=2e^{\frac{3x}{2}}(x-1) \\v=2\int e^{\frac{3x}{2}}(x-1)dx = \begin{bmatrix} a = x-1 & da = dx\\ db = e^{\frac{3x}{2}}dx & b = \frac{e^{\frac{3x}{2}}}{3/2} \end{bmatrix} = \frac{4}{3}\left( e^{\frac{3x}{2}}(x-1)-\int e^{\frac{3x}{2}}dx\right ) = \frac{4}{3}e^{\frac{3x}{2}}(x-1)-\frac{8}{9}e^{\frac{3x}{2}}+C$

Откуда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = e^{-\frac{3x}{2}}\left( \frac{4}{3}e^{\frac{3x}{2}}(x-1)-\frac{8}{9}e^{\frac{3x}{2}}+C\right ) = \frac{4}{3}(x-1)-\frac{8}{9}+Ce^{-\frac{3x}{2}} = \frac{4}{3}x-\frac{20}{9}+Ce^{-\frac{3x}{2}} = y^2$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = \sqrt{z} = \sqrt{\frac{4}{3}x-\frac{20}{9}+Ce^{-\frac{3x}{2}}}$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 13:18 IrineK вне форума

6.

Решить уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dy+ydx=\frac{xdx}{y^3}$

Умножаем на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{y^3}{dx}$ и получаем уравнение Бернулли
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^3y'+y^4-x=0$

Замена переменных
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = y^4$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' =4y^3y'$

Подставляем и получаем линейное неоднородное уравнение 1-го порядка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z'}{4}+z-x=0$

Ещё одна замена
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z' = u'v + uv'$

Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{u'v+uv'}{4}+uv-x=0 \\v\left(\frac{u'}{4}+u\right)+\frac{uv'}{4}-x=0$

Получаем систему двух уравнений для определения u и v
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix} \frac{u'}{4}+u=0\\ \frac{uv'}{4}= x \end{matrix}$

Решаем первое уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{du}{u}=-4dx \\ln|u| = -4x \\u = e^{-4x}$

Решаем второе уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{-4x} \frac{v'}{4}=x \\v'=4xe^{4x} \\v=4\int xe^{4x}dx =\begin{bmatrix} a=x & da=dx\\ db=e^{4x}dx & b=\frac{e^{4x}}{4} \end{bmatrix} = xe^{4x}-\int e^{4x}dx=xe^{4x}-\frac{e^{4x}}{4}+C$

Откуда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z = uv = e^{-4x}\left( xe^{4x}-\frac{e^{4x}}{4}+C\right )=x-\frac{1}{4}+Ce^{-4x}=y^4$

Общее решение исходного дифференциального уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{x-\frac{1}{4}+Ce^{-4x}}$

Запись от IrineK размещена 10.07.2014 в 13:34 IrineK вне форума

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Транскрипция 55-минутного видео через Whisper: WhisperDesktop облажался, спас Google Colab[ anaschu 01.06.2026 Понадобилось получить текст из свежезагруженного видео на YouTube. Казалось бы, задача на пять минут. Заняла полтора часа. Делюсь опытом — может кому пригодится последовательность решений. . . .	21 мат мед. Планы на развитие модели здравоСохранения anaschu 01.06.2026 AnyLogic: план развития симуляционной модели рабочего коллектива — динамический абсентеизм, реальные данные, три сценария сравнения Продолжаю серию постов о дискретно-событийной модели рабочего. . .	20. Мат мед. Абсентеизм как отдельный тип простоя anaschu 29.05.2026 Апдейт модели: исправленные баги, абсентеизм и новые механизмы Продолжаю развивать ранее описанную модель рабочего коллектива на AnyLogic. За последние несколько дней был проведён серьёзный. . .	19. здоровье, усталость и психотип работника влияют на производительность предприятия, и наоборот, производительность на здоровье, усталось и психотип anaschu 28.05.2026 Дискретно-событийная модель рабочего коллектива на AnyLogic: здоровье, выгорание, психотипы и микростимуляция Привет, коллеги. Хочу поделиться итогами нескольких недель работы над симуляционной. . .
"Прокси" для последовательного порта Eddy_Em 28.05.2026 Эту штуку написал я достаточно давно. Но сейчас вот понадобилось настроить датчик грозы, но при этом не отключать его от "метеодемона". Соответственно, надо запустить этот "прокси": метеодемон будет. . .	Рефакторинг программы уравнивания. Massaraksh7 26.05.2026 Пример по предыдущей записи в блоге. Но, надо заметить, что, во-первых, там оптимизация не только математики, но и работы с базой данных, и с графами, а во-вторых, это ещё не всё.	Использование TThread в Lazarus для математических вычислений. Massaraksh7 25.05.2026 Производя рефакторинг своих программ на предмет ускорения их работы, обратил внимание на такой аспект, как сокращение времени матвычислений. Дело в том, что приходится работать с большими матрицами. . .	Модель здравосохранения 18. Чем здоровее работник, тем быстрее выгорает anaschu 24.05.2026 Имитационная модель корпоративного здравоохранения: что показывает математика Сегодня в модели рабочего коллектива на AnyLogic появились три новые механики — выгорание через накопленную усталость,. . .

Сообщение форума

Отменить изменения