Быстрый алгоритм возведения в степень

Запись от -=ЮрА=- размещена 26.07.2013 в 10:07

Проблема довольно известная и возможно кому то покажется глупым её рассмотрение, НО прежде чем закрыть данную ветку раздела блогов внимательно читаем название и понимаем что будет не так как в учебниках. Заинтрегованы?Тогда читаем дальше!

Итак задача : нам следует возвести в степень два вещественных числа, а именно необходимо определить значение с
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c = {a}^{b}$ и сделать это максимально быстро.
(кто побежал за учебником алгебры в раздел функций комплексного переменного и прочей экзотикой - быстро её закрыли, тут такого не будет, т.к комплексов в явном виде в расчётах не будет)

Давайте посмотрим на равенство внимательно:
Если прологорифмировать обе части равенства получим:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ln(c) = b*ln(a)$
а теперь снова проведём обратное преобразование:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c = {e}^{b*ln(a)}$
Кому-то покажется странным замена 1-й матоперации возведения в степень сразу двумя - логорифмированием и потенцированием. Что ж отмечу, что нахождение логорифма и экспоненты через разложение в ряд Тейлора потребует чуть ли не банальных 10-12 операций сложения и является весьма тривиальной задачей, самое главное - что при данном построении решения выигрыш в скорости будет невероятно большим (всем кто сомневается предлагаю проверить)

Вроде хорошо, но вот уже слышу свист и фразу : "а если показатель степени отрицательное?!Логорифма отрицательного числа не бывает!"
Что ж отвечаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|c| = {e}^{b*ln(|a|)}$
Ага снова недовольство, где наш комплекс зачем нам его модуль?

И вот тут магия - оказалось что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c = Re({e}^{b*ln(|a|)}) + j*Im({e}^{b*ln(|a|)})$
обладает удивительным свойством, а именно
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?atan2(Re({e}^{b*ln(|a|)}), Im({e}^{b*ln(|a|)})) = \frac{\pi }{10}$
Что из этого следует - а следует то что при отрицательном показатели степени нам всего лишь достаточно полученный нами результат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|c| = {e}^{b*ln(|a|)}$ записать вот так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat{c} = |c|*cos(\frac{\pi }{10}) + j*|c|*sin(\frac{\pi }{10})$

Сама проблема рассмотрена в данной теме
Возведение в степень, отрицательные числа

Коды разложений не привожу а даю ссылку на свой FAQ по математике где всё есть (ссылка)

Размещено в Без категории

« Безопасный ввод через функцию-шаблон Главная страница

Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.

Всего комментариев 5

Комментарии

Пи/10 используем лишь когда основание степени a < 0
т.е изначально находим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|c| = {e}^{b*ln(|a|)}$
Потом смотрим на основание - если оно < 0
то потребуется конечное преобразование с представлением комплекса в алгебраической форме через его модуль и как оказывается магическую фазу Пи/10.
На счёт с - честно скажу не понял, если выражаться простым языком, с - просто значение f(x) = exp(x)

Запись от -=ЮрА=- размещена 30.07.2013 в 23:47 -=ЮрА=- вне форума

Сегодня за долгое время просмотрел свой блог, наткнулся на некогда живую дискуссию без меня

Фаза Пи/10 получается лишь при показателях степени b = 2,1, 4,1, 6,1 и т. д. Возьми в качестве b число, равное 4,2 и "магическая" фаза сразу станет равной Пи/5.

- да прав, но смотреть надо глубже, а не пытаться закидать меня камнями...
Уточнение в алгоритме (справедливо для всех b >= 0)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?atan2(Re({e}^{b*ln(|a|)}), Im({e}^{b*ln(|a|)})) = \pi*(b - floor(b))$

MathCAD файл оновлен по ссылке https://www.cyberforum.ru/cpp-... ost5923921

Не по теме:

тот, кто знает мир науки, поймёт к чему здесь этот смайл :p .

Запись от -=ЮрА=- размещена 19.03.2014 в 22:22 -=ЮрА=- вне форума

Что то не сходится: Re=Im, а угол почему-то . Ваще то синус равен косинусу для совсем другого угла, для . Да и скакого перепугу они уравнялись? Кроме того, каждая из компонент Re и Im не могут быть равны модулю только в том случае, ели вторая равна нолю, так что одновременно они не могут быть равны модулю.

Я написал чёрным по белому, в последнем посте
Уточнение в алгоритме (справедливо для всех b >= 0)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?atan2(Re({e}^{b*ln(|a|)}), Im({e}^{b*ln(|a|)})) = \pi*(b - floor(b))$

Не по теме:

прежде чем писать прошу читать что написано

Запись от -=ЮрА=- размещена 20.03.2014 в 20:55 -=ЮрА=- вне форума

Будь другом, приведи доказательство, что: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?atan2(...) = \pi*(b-floor(b));$

Дробная часть показателя описывает фазу : на промежутке 0...1 содержится весь период для тангенса, т.е Пи радиан
Вобщем проводим аналогию (0...Пи)-> (0...1)

Запись от -=ЮрА=- размещена 20.03.2014 в 21:02 -=ЮрА=- вне форума

Зосима, повторюсь магическое не Пи/ 10 а магическое
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?atan2(Re({e}^{b*ln(|a|)}), Im({e}^{b*ln(|a|)})) = \pi*(b - floor(b)) = \phi$

Отмечал пару постов выше

Для тех кто только включился поясняю мы можем посчитать экспоненту без формулы Эйлера(http://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Эйлера), верней выйти на её окнчательный резултат путём более простых преобразований (менее ресурсозатратных для ЭВМ разложений)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|c| = {e}^{b*ln(|a|)}$ записать вот так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat{c} = |c|*cos(\phi) + j*|c|*sin(\phi)$
На вопрос зачем это нужно - отвечаю для численных методов - это быстрей прямого алгоритма в лоб на порядок.

Кликните здесь для просмотра всего текста

Повторяю ссылки на всякий пожарный

https://www.cyberforum.ru/cpp-... ost5923921

Запись от -=ЮрА=- размещена 20.03.2014 в 23:03 -=ЮрА=- вне форума

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) - означает логарифм (x^2+2) по основанию (x-2). Унарный минус обозначается как ! */ #include <iostream> #include <stack> #include <cctype>. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .

Сообщение форума

Отменить изменения